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絶対値とは?計算や不等式で役立つ絶対値の外し方も解説!例題付き

はじめに

あなたは絶対値について完璧に理解できていますか?
「絶対値の意味」
「絶対値記号を正しく外せるか」
「絶対値付きの方程式・不等式では漏れのない場合分けができるか」
などなど、多くのポイントがあります。
しかも、絶対値付きの不等式は平成29年度センター試験(追試験)に出題されています。めっちゃ大事ですね、絶対値。

そこで今回の記事では、センター試験にも必要な【絶対値の意味と外し方】【絶対値付きの方程式・不等式の解き方】を解説します。その後に例題をつけているので、実際に解いて理解を確実なものにしてください!

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絶対値の意味

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まずは絶対値とは何かを見ていきましょう。

絶対値とは?

絶対値とは【ある数の、0からの距離】を示しています。
1と−1を例に数直線を思い浮かべてみましょう。視覚的に絶対値を捉えることができます。

1の絶対値について

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−1の絶対値について

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1の絶対値も、-1の絶対値も1になりましたね。

「絶対値は0からの距離を表している」ということを覚えておいてください!

絶対値の記号

絶対値の視覚的なイメージは掴めたかと思います。しかし毎回数直線を書くわけにもいかないので、ここからは数式に出てくる絶対値を見ていきましょう。
絶対値は「||」という記号を使って表します。

先程の具体例1と-1で見てみると、
1の絶対値は|1|、-1の絶対値は|-1|と表します。
数字を棒で挟むだけなので簡単ですね!

絶対値の外し方

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上の例で見ると、1の絶対値も−1の絶対値も1なので
|1|=1、|−1|=1と表すことができますね。
つまり絶対値記号は外すことができます。むしろ絶対値記号を外さないと計算を進めることができません。

そこで、ここでは絶対値記号の外し方を見ていきましょう!

絶対値の中身が数字の場合

1と−1の具体例からも分かるように、絶対値の中身が正の数か負の数かによって絶対値の外し方が違います。

また、0は原点からの距離が0なので|0|=0です。下の説明では0は省略しますが場合分けの時に出てくるので覚えておいてください。

絶対値の中身が正の数の場合

絶対値の中身が正の数の場合は、(数字の値)=(0からの距離)なので絶対値記号をそのまま外すことができます。

|2|=2
|10|=10
のように絶対値記号を外すことができます。

絶対値の中身が負の数の場合

絶対値の中身が負の数の場合は、(数字の値)=ー(0からの距離)なので
|−2|=2
|−2.5|=2.5
|−3/4|=3/4
のように絶対値記号もマイナス記号も取り除くと【0からの距離】になりますね!

「マイナスを取り除く」とは、表現を変えると絶対値の中身を−1倍することになります。
この考え方は次に説明する「絶対値の中身が文字式の場合」で使うことになります。
|−2|=−(−2)=2
|−2.5|=−(−2.5)=2.5
|−3/4|=−(−3/4)=3/4

【まとめ】

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今回の記事で最も大切なポイントが上で説明した絶対値の外し方です。これだけは絶対に覚えて帰ってください。
文字が絶対値記号の中に含まれたり、絶対値付きの方程式・不等式を解くときにも、基本は全く同じです。

絶対値の中身が文字の場合

絶対値の中身が文字の場合も難しく考える必要はありません。気をつけることは絶対値の中身が正か負かです!

・|x|の場合(絶対値の中身が変数1文字のみの場合)
x>0のとき|x|=x
x<0のとき|x|=−x

・|x−3|の場合(絶対値の中身が数式の場合)
x-3>0⇔x>3のとき
|x−3|=x−3
x−3<0のとき
|x−3|=ー(x−3)=−x+3

ここで、上で紹介した「マイナスを取り除く」方法が使われていますね。

絶対値の性質

絶対値の外し方の最後に、計算で使われる絶対値の性質を知っておきましょう。全部で4つありますが、見れば「当たり前じゃん!」と思えることばかりなので気負わなくても大丈夫です。

【性質①】|-a|=|a|
【性質②】|a|² =a²
【性質③】|ab|=|a||b|
【性質④】|a/b|=|a|/|b|

実際に計算してみることが最も速く理解できる方法です。下に載せてある例題を解いてみてください。

絶対値付き計算の例題

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ここまでで学んだことを練習問題で復習してみましょう。

【例題】

【例題1】
|−1|+|4|を求めなさい。

【例題2】
|−3|²-5を求めなさい。

【例題3】
|3|×|6|を求めなさい。

【例題4】
|3/(-6)|を求めなさい。

【解答】

【例題1】
|−1|+|4|を求めなさい。
【解答】
まずは絶対値を外してから計算しましょう。
|−1|+|4|=1+4=5

【例題2】
|−3|²−5を求めなさい。
【解答】
|−3|²−5=9−5=4

【例題3】
|3|×|6|を求めなさい。
【解答】
|3|×|6|=3×6=18

【例題4】
|3/(-6)|を求めなさい。
【解答】
|3/(-6)|=|−1/2|=1/2

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絶対値付きの方程式・不等式の解き方

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絶対値付きの方程式・不等式も基本的な考え方は変わりません。「絶対値の中身が正か負か」に注目します。例題を見ながら解き方を解説します。

【例題】

|x+5|=4を解きなさい。

【解説】

「絶対値の中身が正か0か負かを知りたいのに、変数が含まれてるから分からない!?」
こんなときは【場合分け】です。分からないなら全部試してしまいましょう。

①x+5>0のとき⇔x>−5のとき(⭕この書き換え重要)
|x+5|=4
x+5=4
x=1
これはx>−5を満たす(⭕この確認重要)

②x+5=0のとき⇔x=−5のとき(⭕この書き換え重要)
0=4となってしまうので不適

③x+5<0のとき⇔x<−5のとき(⭕この書き換え重要)
|x+5|=4
ー(x+5)=4
−x−5=4
−x=9
x=9
これはx<−5を満たす(⭕この確認重要)

解が出た後に、場合分けのときの条件を満たしているかの確認(⭕印)を忘れないようにしましょう!

【例題】

|x-5|+7>0を解きなさい。

【解説】

まずは見やすくするために数字を右側に移行させましょう。
|x−5|>−7

絶対値の中身が正、0、負なのか分からないので【場合分け】しましょう。

①x−5>0のとき⇔x>5のとき(⭕)

|x−5|>−7
x−5>−7
x>−2
場合分けの条件であるx>5と解x>−2よりx>5(⭕)

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【⭕印について】
場合分けの条件と解の範囲の両方を満たしていなければいけません。つまり①での答えはx>5となります。

②x−5=0⇔x=5のとき

|x−5|>−7
0>−7となるのでx=5は適切。

③x−5<0⇔x<5のとき(⭕)

|x−5|>−7
−x+5>−7
−x>−12
x<12
場合分けの条件x<5なので、③での解はx<5(⭕)

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【⭕印について】
場合分けの条件と解の範囲の両方を満たしていなければいけません。つまり③での答えはx<5となります。

最終的な答え

①x>5
②x=5
③x<5
この3つを合わせて初めて例題の不等式の答えとなります。

①〜③より、解は実数全体である。
このような答えもたまに出てきます。

センター試験に出る絶対値の問題✏

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最初に書いたように、実際に絶対値付きの不等式がセンター試験(追試験)に出題されています。

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平成29年度追・再試験の問題より引用

この問題には、絶対値だけでなくルート(有理化や大小比較)の単元も含まれています。一見普通の一次不等式のように見えて計算が大変です。
ですが、解き始めはやはり「絶対値の中身が正、0、負のどれなのか」に注目します。
どれだけ難しくても、基本は同じです!

【簡単な解説】

まずは場合分けです。
①(√3+1)x−12>0
②(√3+1)x−12=0
③(√3+1)x−12<0
に3つの場合になります。

有理化して解き、①〜③を合わせると
3(√3−1)≦x≦9(√3−1)になります。(オ〜コ)

2<3(√3−1)<3、6<9(√3−1)<7より与えられた不等式を満たす整数は3,4,5,6の4個となります。(サ)

最後に

ここまで
・絶対値の意味
・絶対値の外し方
・絶対値付き計算の例題
・絶対値つき方程式・不等式の解き方
・センター試験に出る絶対値の問題
について見てきました。
どんなに難しい絶対値付きの計算でも、大切なのは【絶対値の中身が正か負か】ということです。基本を忘れずに、どんどん難しい問題にチャレンジしていってください!

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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