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一次方程式の問題や文章題の解き方を例題で詳しく解説!

はじめに

中学生になると、小学校で習っていた算数とは全く異なる数学を習います。
そのなかでも、文字を扱い始める「一次方程式」という単元はとても難しく感じるのではないでしょうか。

しかし、一次方程式を解けるようになってしまえば今感じている難しさも何処かに消えてしまいます!まずは解き方を知り、実際に解けるようになってみましょう!

今回の記事では、一次方程式の解き方をかなり詳しく説明してあります。最後には例題や文章題も付けてあるので、挑戦してみてください!

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一次方程式とは?

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まずは一次方程式とは何かを見てみましょう!
具体的には
x+9=0
2x-8=6
3x=15
のような式を一次方程式と言います。

言葉の説明をすると、一次方程式とは「一次」の「方程式」です。
「一次」とは、変数xの右上の数字(次数)が1であるということを示します。次数が1の場合は通常右上の1を省略するので、単にxになります。
「方程式」とは、変数(x)がある特定の値の場合のみ、両辺の値が等しくなる(=で結ぶことができる)式のことです。

一次方程式の解き方

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ここからは、一次方程式の解き方を解説します。
一次方程式を解くには、4つのSTEPが必要になります。
例題を元に詳しく見ていきましょう!

【例題】

一次方程式2x−5=x+3を解きなさい。

【STEP1】xを左に集めよう!

まずは、変数xを式の左側に集めます。
例題では、式の右側(右辺)にxがありますね?両辺からxを引けば右辺のxを消して、左辺に持ってくることができます。

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両辺からxを引いてみると

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xを両辺から引くことで、右辺からはxが消え、左辺にxが現れましたね。
でも、毎回毎回こんなことしていたら面倒くさいですよね。
そこで、もっと簡単にxを左辺に移せる方法を紹介します。
例題の式と、両辺からxを引いたあとの式を見比べてみましょう。

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見比べてみると、【右辺のxに、マイナスを付けて左辺に持ってきただけ】ということに気が付きませんか??
いちいち両辺から引いたりしなくても、符号を逆にすれば「左辺から右辺」、「右辺から左辺」に移すことができます!

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符号を変えて「左辺から右辺に」もしくは「右辺から左辺に」文字や数字を移動させることを【移項】と言います。

【STEP2】数字を右に集めよう!

STEP2では数字を移項させましょう。数字は変数xとは逆で、右辺に集めます。左辺にある数字を右辺に移行します。

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【STEP3】一次方程式の右辺・左辺を整理しよう!

変が左辺、数字が右辺に集まったら、左辺・右辺をそれぞれ計算して整理しましょう!ここまでくればもう少しで解き終わります◎

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今回は運良く、整理すると「x=◯」の型になりましたね。

【STEP4】「x=◯」の形に!

今回の例題では運良く整理しただけで「x=◯」の形になりましたが、うまくいかない場合もあります。

【STEP4】では、「x=◯」の形にするための最後の仕上げをします。
整理した後、2x=8や3x=5のような、xに係数がついた式になることがあります。この場合はxの左側についている数字で両辺を割ることで「x=◯」の形にすることができます。

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上で紹介した方法で一次方程式を確実に解くことができます。

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一次方程式の問題

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解き方を理解し終わったら、一次方程式の練習問題に取り組んでみましょう。
数学の計算は、問題を解けば解くほど速くなります。むしろ多くの練習問題を解かないと速くなりません。この記事の問題だけでなく、学校で貰ったプリントや問題集の問題も解いてみましょう。

【練習問題】

【練習問題1】
x-5=0を解きなさい。

【練習問題2】
3x=14を解きなさい。

【練習問題3】
3x+5=29を解きなさい。

【練習問題4】
4x+3=5x-8を解きなさい。

【練習問題5】
⅔x−9=5x−½解きなさい。

【練習問題6】
0.4x + 0.25=0.125-4xを解きなさい。

【解説】

【練習問題1】
x-5=0
この一次方程式は簡単に「x=◯」の形にできそうですね。
【STEP2】の考え方で、「数字を右辺に移項」しましょう。

x=5(答え)

【練習問題2】
3x=14
この一次方程式は、「変数xは左辺に、数字は右辺に移行し整理する」ところ(STEP3)までクリアできています。
なのでSTEP4で学んだ「x=◯」の形にしましょう!

3x=14
両辺を3で割ると
x=14/3(答え)

【練習問題3】
3x+5=29
この一次方程式は変数が右辺に無いので、数字を右辺に移行させるSTEP2から始めましょう。

3x=29-5
3x=24
x=8(答え)

【練習問題4】
4x+3=5x-8
この一次方程式はSTEP1から始めましょう。

4x+3−5x=−8
4x−5x=−8−3
−x=−11
x=11(答え)

【練習問題5】
⅔x−9=5x−½
分数が使われている場合は、まず分母を払いましょう。

両辺を6倍すると
2x-54=30x-3
2x-54-30x=-3
-28x=51
28x=-51
x=-51/28(答え)

【練習問題6】
0.4x + 0.25=0.125-4x

小数の一次方程式は、
・分数にして上の方法で解く
・両辺を10倍、100倍、1000倍して小数点を消す
の二通りのやり方があります。
あなたが解きやすい方法で解いてみてください!

・分数にする
4/10x + 25/100=125/1000-4x
2/5x + ¼ = ⅛ -4x
両辺を40倍すると
16x+10=5-160x
16x+10+160x=5
176x=-5
x=-5/176(答え)

・小数点を無くす
両辺を1000倍すると
400x+250=125-4000x
両辺を25で割ると
16x+10=5-160x
176x=-5
x=-5/176(答え)

一次方程式の文章問題

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一次方程式を解けるようになったら、次は文章問題のチャレンジしてみましょう!
文章問題では、何を変数xにするか設定し、式を作るところも自分でしなくてはいけません。その分問題も難しくなりますが、求めるものをxとおけば解けることが多いです。

【例題】

登場人物
兄:けんじ君
弟:まこと君

兄けんじ君が弟まこと君の忘れ物を届けることになりました。兄けんじ君は10km/h、弟まこと君は6km/hで進むことができます。このとき兄けんじ君は弟まこと君に家を出てから2時間で追いつくことができました。
兄けんじ君が家を出たとき、弟まこと君が家を出てから何時間経っていましたか?

【解説】

設定へのツッコミは無しにして、例題を解いていきましょう。
まずは、兄けんじ君が家を出たとき、弟まこと君が家を出てからx時間経っていたとします。
(⚠単位を必ず付けましょう!!)
このとき、兄と弟の差は6x kmになります。

6x kmの差を2時間で追いついたので、
6x ÷ (10-6)=2
6x/4=2
両辺を4倍して
6x=8
x=8/6
=4/3
よって、兄けんじ君が家を出たとき、弟まこと君が家を出てから4/3時間経っていた。

一次方程式が入試問題に!?

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ついつい「中学1年生で習うような一次方程式なんて入試問題に出なさそう」と思ってしまいそうですが、実は出題されます。平成28年度の都立高校入試問題では、大問1の計算問題に出題されています。

平成28年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答表等 より引用

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答えはx=4です。正解できましたか?

さらに、一次方程式が解けないとに中学3年生で習う二次方程式を理解できません。二次方程式は大学入試で必ず使います。
このように、一次方程式は中学以降の数学において非常に重要なのです。

最後に

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ここまで
・一次方程式とは何か
・一次方程式の解き方
・一次方程式の練習問題
・一次方程式の文章問題
・一次方程式の大切さ
を見ていました。
中学1年生の内容だからといって侮ってはいけません。計算練習をしてしっかりと一次方程式を解くコツを掴んでください。あなたが一次方程式を解けるようになることを願っています!

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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