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シグマを使った数列の和の計算を徹底解説!公式を使いこなそう!

はじめに

高校数学で登場する「Σ(シグマ)」
数列の和を求めるときに使う記号ですが、記号やら文字やらがたくさん出てきて、何をどうすればいいのかわからなくなってしまう方も多いのではないでしょうか。

しかし、それはつまり大学受験で狙われやすいポイントということです。複雑な式変形や計算をこなすために、シグマの意味や計算を理解することは非常に重要なのです。
この記事では、大学受験で出題されるシグマを使って数列の和を求める問題を解くのに必要な知識を、じっくり解説していきます。

正しい理解と練習で、シグマをあなたの武器にしていきましょう!

シグマの読み解き方

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まず、Σを使った数列の表し方、またその読み解き方を解説します。

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この書き方だと、aだの+だのを何度も書かなければならなくてめんどくさいですよね。これをΣで表すと、もっと簡単に表すことができるのです。

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見比べるとわかるように、Σの下にはkに最初にいれる値、Σの上にはkに最後に入れる値を書きます。kに入れる値を1ずつ増やし、出て来る項をいちいち足していって、k=nとなったところで止める、というイメージです。

例)

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計算法則・公式は元の足し算に戻すと見えやすい

上ではakを使って説明しましたが、ここにakを求めるための式(一般項)を入れると、数列の和を求めることができます。
つまり、

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という数列の和は、

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で求められる、ということです。

このとき活躍するのが、計算法則と公式です。まずは計算の法則から説明していきます。

足し算・引き算は項ごとに分けられる

Σの右の式は、項ごとにわけることができます。

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つまり、Σ(k²+k)=Σk²+Σkとできますよ、ということです。(見やすくするために省略しますが、以下特に表記がない限りΣの下はk=1、上はnとします)

これは実際に書き出してみればすぐわかります。
Σ(k²+k)
=(n²+n)+{(n-1)²+(n-1)}+{(n-2)²+(n-2)}+…+(3²+3)+(2²+2)+(1²+1)
={n²+(n-1)²+(n-2)²+…+3²+2²+1²} + (n+n-1+n-2+…+3+2+1)
=Σk²+Σk

これは引き算でも同じですね。
Σのままだと見えてこないものが、Σから元の足し算に戻すと見えてくることは結構あります。

定数は前に出せる

もう1つ重要な計算法則がこれ。定数は前に出すことができます。

Σak²
= an²+a(n-1)²+a(n-2)²+…+a3²+a2²+a1²
= a{n²+(n-1)²+(n-2)²+…+3²+2²+1²}
= aΣk²
これも元の足し算に戻すとわかりやすいです。

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よく出てくる数列の公式

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では、次に公式を説明します。Σkとか、Σk²とかを、地道に計算しなくても簡単に求められる式があるんです。
そんな公式を5つご紹介します!

等差数列の和

まずは、Σkを簡単に求める式です。

ただ、実はこれ、元の数列に戻してみるとわかるように、単なる等差数列なんですね。
Σk=1+2+3+…+n

なので、新しい公式を覚えよう!というよりも、単に等差数列の和です。等差数列の和は½ n(初項+n番目の項) で求められるので、この場合も
Σk=½ k(k+1)
となります。
等差数列の和の公式がわからない方は、下の記事を読んでみてくださいね。

等差数列を徹底解説!一般項の求め方や和の公式をマスターしよう!

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初項がk=1でない場合、最後の項がk=nでない場合ももちろんありますが、その場合も「等差数列の和である」ことを考えれば問題なく対処できると思います。


例)

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2乗の和

さて、次の公式はこちらです。

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これは本当によく使います。
つまり忘れたり数字を間違えたりすると致命傷ということです。これの証明問題が出ることもありますから、「なぜこうなるのか」しっかり覚えていつでも書けるようにしておいてください。

Σが出てくる問題を解くときに、Σの隣の数式を「kとk+1などの、1違いの値で表す」と非常に簡単に値を求めることができます。

例えば2k+1です。上の等差数列を使って求めることもできますが、(k+1)²-k²=2k+1を使うと

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と、打ち消しまくることができるので、nをk+1の方に、1をkのほうに代入するだけで答えが求まるのです。
(ちなみに見やすくするためにΣの下のk=1、上のnを省略しました)


この、「k+1とkを使って表す」ことを、k²でもします。

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ただ、k²のときは等差数列であるkとは違い、⅙ n(n+1)(2n+1)の中に初項を表している文字や式がないので、初項がn=1でなくても公式にその値を入れればよい、なんてことはありません。

じゃあ初項がn=2以上のときはどうやって求めればいいんだ!と思うかもしれませんが、元の数列の和に戻してみると簡単で、

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と、単に引けばいいのです。この「初項がn=1でないときはいったんn=1として計算してそこから要らない分を引く」というのはk²に限らず使える手なので、覚えておいてくださいね。

3乗の和

3乗の和も同じくk+1とkの差で作っていきます。
やることは2乗の和と同じなので、数式だけ書いておきます。

(k+1)⁴ - k⁴ = 4k³+6k²+4k+1

Σ{(k+1)⁴-k⁴} = (n+1)⁴-1 = n⁴+4n³+6n²+4n
Σ6k²+4k+1 = 6×1/6 n(n+1)(2n+1) +4×1/2 n(n+1)+n = 2n³+5n²+4n

∴4Σk³= n⁴+4n³+6n²+4n - (2n³+5n²+4n) = n⁴+2n³+n²
⇔Σk³=¼ n²(n²+2n+1) = ¼ n²(n+1)²

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等比数列の和

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この式を簡単にする方法はわかりますか?
見慣れないと感じるかもしれませんが、これも元の数列に戻してみると、

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等比数列であることがわかります。

あとは簡単ですね。等比数列の和の公式を使えば、

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とわかります。なぜこの公式が成り立つのかわからない方は、下の記事で解説していますのでぜひ読んでみてくださいね。

等比数列の和の公式の証明や一般項の求め方を解説!応用問題つき

ちょっと応用編!部分分数分解とは?

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先ほどΣk²やΣk³の公式を求める際に、「kとk+1で表し、差を利用して簡単に求める」という技を使いました。
これを分数で使うこともできます。


【問題】次の和を求めよ。

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【解答】

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より、

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このように、分数を引き算で表すことを部分分数分解と呼びます。
大学受験の数列ではかなり使うので、分数が出て来る数列の問題で「あれ、これどうやって求めるんだ…?」と思ったらとりあえず引き算の形にできないか考えてみてください。

部分分数分解については、こちらで詳しく説明しています。

部分分数分解の公式とやり方を慶應生が解説!数列との融合問題も扱います!

問題を解いてみよう

では最後に、今までやってきたことを問題を解いて復習してみましょう。


【問題】

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17808729

最後に

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ここまで、シグマを使った数列の和の計算方法について説明してきました。
基本的な計算方法をひととおり学んだら、あとはもう慣れです。シグマの計算は分数や累乗がたくさん出てきて計算ミスをしやすいので、この記事を読んだあとは、問題集や過去問を使ってたくさん練習を積んでいきましょう!
あなたがシグマの計算をマスターできることを願っています。

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この記事を書いた人
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現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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