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接弦定理とその証明を図で詳しく解説!接弦定理の逆も紹介◎

はじめに

あなたは接弦定理を確実に理解できていますか?
「正弦定理や余弦定理は使いこなせるけど、接弦定理はよくわかんないや…」
これでは思わぬところで足をすくわれます。

今回はそんな接弦定理を、公式だけでなく証明まで詳しく解説しました。

一度理解してしまえば、接弦定理は正弦定理や余弦定理よりも簡単です!
いつ出題されても大丈夫なように、この記事で接弦定理を理解していってください!

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接弦定理とは?

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接弦定理とは、円に三角形が内接し、さらにその三角形のある1点を通る円の接線が存在するときに成立する定理です。


接弦定理は図を見て視覚的に定理を覚えましょう!!

丸暗記するよりも、図を見てイメージできることのほうが大切です!

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円に三角形が内接し、そのどれか1点を通る円の接線が存在するとき、

∠BAC=∠BCD

となる定理を接弦定理と言います。



難しい説明をすると、接弦定理は

「円Oの弦BCと、点Cを通る接線CDとのなす角∠BCDは、∠BCDに含まれる弧BCの円周角∠BACと等しくなる」

という内容になります。

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厳密な説明では、円に内接する三角形は出てきません。

かわりに、円周角や弦、さらには角に含まれる弧など数学用語が出てきます。

また、∠BCDのことを「接線と弦が作る角」と呼びます。


言葉で説明されてもよく分かりませんね…

接弦定理は、言葉ではなく視覚的に覚えましょう!


ちなみに接弦定理は、∠BCDが90°よりも大きな場合(接線と弦が作る角が鈍角の場合)にも成り立ちます。

【90°より大きい場合】

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接弦定理の証明

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それでは、接弦定理の証明を解説していきます!

∠BACが
・鋭角のとき
・90°のとき
・鈍角のとき
の3つの場合について証明します。

∠BACが鋭角のとき

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接点Cと円の中心を通る線分CEを引く。

また、EBを結ぶ。このとき∠EBC=90°

円周角の定理より、∠CAB=∠CEB(オレンジの角)

△CEBの∠ECBについて(赤の角)
∠ECB=180°ー(∠EBC+∠CEB)
  =180°ー(90°+∠CEB)
   =90°ー∠CEB
   =90°ー∠BAC

また点Cの∠ECBについて(赤の角)
∠ECB=90°ー∠BCD

∴∠BAC=∠BCD(証明終わり)

∠BACが90°のとき

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弦BC(直径)と接線CDのなす角∠BCD=90°
また、弦BCに含まれる弧ECの円周角∠BAC=90°
よって∠BAC=∠BCD(証明終わり)

∠BACが鈍角のとき

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鋭角の接弦定理より、∠BCF=∠BEC(赤い角)ー①

また、円に内接する四角形ABECについて
∠BAC+∠BEC=180°
∴∠BAC(オレンジの角)=180°ー∠BECー②

∠BCDについて、
∠BCD=180°ー∠BCF
①より
∠BCD=180°ー∠BECー③

②③より
∠BAC=∠BCD(証明終わり)

接弦定理の逆とは?

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接弦定理の逆とは、

点Cと点Fが直線BDに対して反対側にあり、下の図のオレンジの角が等しければ
直線EFが三角形の外接円と接する

というものです。



難しそうですが、大学入試ではあまり出題されないので知っておく程度で大丈夫でしょう。

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接弦定理の例題

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それでは接弦定理を使って解く問題を見てみましょう!

【問題】

下の図で∠BDCを求めなさい。

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【解説】

接弦定理から∠BCD=65°として三角形の内角の和から求めてもいいですし
接弦定理から∠CDE=40°として180°から∠BDFと∠CDEを引いて求めてもいいです。

答え 75°

とにかく、接弦定理で角度を移すことができる感覚を掴んでください!

最後に

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ここまで

・接弦定理とは?
・接弦定理の証明
・接弦定理の逆とは?
・接弦定理の例題

について見てきました。

接弦定理は、図形を見て理解し、角度を移す感覚を掴むことが大切です!
あなたがこの記事を読んで接弦定理のコツを掴んでくれることを願っています!

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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