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【集合】記号の意味やド・モルガンの法則を問題を解きながら解説!

はじめに

集合は記号が色々とありすぎてごっちゃになる…
ド・モルガンの法則ってなんだっけ…?
和集合の問題はいつもミスしてしまう…
なんて思ったことはありませんか?

集合は学校で習うとき、要素やら部分集合やら空集合やら否定やらなんやら、新しい言葉が一気に降り掛かってくることが多いです。
慣れればそんなに難しくないのですが、最初は面食らってしまいますよね。

しかし、それを放置していると大学受験でとても不利になってしまいます。
なぜなら、センター試験の数学1Aではほぼ毎年、論理と集合の問題が出題されています。集合があやふやなだけで、大問を1つ落とすことにもなりかねないのです。

今回の記事では、「集合」「要素」といった言葉の意味を丁寧に解説したあと、ド・モルガンの法則などの大学受験でよく出てくる法則を説明し、最後にセンター試験の問題に挑戦します。

集合をきちんと理解して、センター試験の論理と集合を得点源に変えてしまいましょう!

「要素」「集合」って何が違うの?

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ではまず、集合を理解する上で基礎の基礎である「要素」と「集合」の意味について説明します。

要素が集まったものが集合

簡単にいえば、「要素が集まったものが集合」です。
最初から数字で考えるのは難しいので、日本語で考えてみましょう。

例えばアイドルグループのTOKIOは、以下のメンバーから構成されています。
長瀬 智也
松岡 昌宏
城島 茂
山口 達也
国分 太一

彼らのことを、「(TOKIOという集合を構成する)要素」といいます。

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数式で考えてみると、
「xは3の倍数」という条件pがあるとします。この条件pを満たす要素の集合をPとおき、図で表すと

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こうなります。全部書くことは不可能なので省略しましたが、42以降の3の倍数ももちろんこの円の中に入ります。

つまりは集合とは「グループ」、要素とは「メンバー」ですね。

集合と要素の表し方

さて、この「要素が集まったものが集合」ということが数学的に表す方法は、以下の2つです。

①[集合の名前]={○, ○, ○, …, ○(要素をすべて書き出す)}
②[集合の名前]={x|xが満たす条件}

この「xが満たす条件」というのが少しわかりにくいかもしれませんが、要は「要素が満たす条件をxを使って表す」ということです。
例えば「1以上9以下の3の倍数」という条件を満たす要素の集合をAとおくと、
①だと A={3. 6. 9}
②だと A={x|xは1以上9以下の3の倍数}
となるわけです。

この問題のように要素をすべて書き出せる場合は①②の両方が使えますが、
先程の「3の倍数」のようにすべて書き出すのが不可能な場合は、数学的な正しく記したいなら、②しか使えません。
例)P={x|xは3の倍数}

②はなんで文字を置くの?「|」ってなに?と思うかもしれません。
これは右から読んでいくと覚えやすいと思います。

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「∈」は「属する」という意味

これまではすべての要素と集合の関係をどう表すか、という話でしたが、
「1つの要素が、集合に属している」
わかりやすく言うと「城島茂という要素は、TOKIOというグループに属している」「x=3は、「xは3の倍数である」という要素の集合Pに属している」ということを、
記号で表すこともできます。

このときに使うのが「∈」という記号。
「要素aが集合Aに属する」は、「a∈A」と表せるのです。

上の例だと、
城島茂∈TOKIO
x=3∈P
となります。


反対に、属さないときは∈にスラッシュを入れた記号である、「∉」を使います。
トム・クルーズ∉TOKIO
x=4∉P
ですね。


この「∈」は、あとで出て来る部分集合を示す「⊂」と混同しやすいです。
非常に基礎的な部分ではありますが、2016年のセンター試験では実際にこの2つの記号が区別できていないとできない問題が出題されたので、単なる記号と侮らずにきちんと覚えましょう。

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集合で出てくる記号を解説!

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それでは、集合同士の関係を表す記号の説明に移ります。

=(等しい)

集合Pと集合Qの要素がすべて等しいとき、P=Qと表します。

例えば
p:0より大きい整数
q:自然数
という条件があったとします。

このとき、条件pを満たす要素の集合をP、条件qを満たす要素の集合をQとすると、
Pの要素は1, 2, 3, 4,…
Qの要素も1, 2, 3, 4,…
で、同じです。

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⊆(部分集合)と⊂(真部分集合)

P={1, 2, 3, 5}
Q={1, 3}
という集合P, Qがあるとします。

このとき、Qにある要素はすべてPにありますね。これを「QはPの部分集合である」といいます。

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そして、このような状態も記号で表すことができます。

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等しい等しくないと言っているのは、P=Qの場合でも、QはPの部分集合と言えるためです。もちろん反対にPがQの部分集合ともいえます。
部分集合と言っても、このようなP=Qも含むよというときは⊆、含まないときは⊂を使います。≦と<のようなものです。

実際に問題を解いてみましょう。

【問題】以下の条件を満たす集合P、Qの関係を記号を用いて表わせ。
p:x²=4
q:x=2

【解説】
P={-2, 2]
Q={2}
より、Q⊂P


∪(または)と∩(かつ)
集合Aと集合Bのどちらかに属する要素の集合をA∪B、
集合Aと集合Bの両方に属する要素の集合をA∩B
と表します。

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この図の青いところがA∪B、
紫色の斜線が入っているところがA∩Bです。


A={3, 4, 5, 7}
B={1, 2, 3, 6}
という集合A, Bで考えてみると、

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となり、
A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A∩B = {3}
とわかります。

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∅(空集合)

何も要素を持たない集合のことを、「空集合」と呼び「∅」と表します。
なんで要素がないのに集合をつくるんだ?と思うかもしれませんが、これを定義したほうが数学では都合が良いそうです。虚数のようなものです。


虚数ってなんだっけ?という方はこちら↓

実数とは?複素数・自然数との違いは?意外と知らない定義を解説!

たとえば
A={1, 2, 4}
B={100, 200}
という集合A, Bがあるとき、AとB両方に含まれる要素は存在しないですよね。
こういった場合、
A∩B=∅
と表すのです。

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 ̄(補集合)

集合Aがあるとして、
全体集合から、Aに含まれる要素を抜いた集合を

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と表します。

この全体集合とは、ざっくり言うと「問題において考える数すべて」のことです。
例えばA={1, 2, 3}としましょう。
このとき、 ̄Aは1, 2, 3以外の要素の集合なわけですが、「これは整数だけ?」「実数まで?」「虚数も含むの?」という疑問が生じますよね。
それを防ぐために、「今回はこの数の範囲まで考えますよ」という全体集合を定義するわけです。

例えば全体集合をU={x|1≦x≦10∧xは整数}と定義すると、
 ̄A={4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}となります。

ド・モルガンの法則

集合について、以下の法則が成立します。

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ちなみになぜこれをド・モルガンの法則と呼ぶかというと、オーガスタス・ド・モルガンという人が発見した法則だからです。

一見なぜこれが成り立つのかわかりにくいですが、ベン図を使うとすぐ理解できます。

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これはセンター試験でも本当によく出てくるので、確実におさえましょう!


【練習問題】
全体集合U={x|1≦x≦5}、
A={2, 3, 5}
B={1, 2, 4, 5}
とするとき、 ̄A∪ ̄Bを求めなさい。


【解説】
ド・モルガンの法則より、 ̄A∪ ̄B =  ̄(A∩B)
A∩B = {2, 5}なので、
 ̄A∪ ̄B = {1, 3, 4}

和集合はベン図で考えよう!

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和集合はセンター試験などの大学受験で狙われやすいポイントです。ここでは基本的な考え方を説明します。

2つの場合は「足して、引く」

まず、以下の問題を解いてみてください。

【問題】
1以上30以下の自然数を考える。
A={x|xは2の倍数}
B={x|xは3の倍数}
このとき、A∪Bの要素の数を求めよ。


【解説】
1から30までで2の倍数は15個、3の倍数は10個あるから、足して25個…とやるのは間違いです。ベン図で確認してみましょう。

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このようになります。図からわかるように、2の倍数の個数と3の倍数の個数を単に足すだけだと、2の倍数であり3の倍数である数(真ん中の青い斜線のところ)が2回数えられてしまうんですね。
したがって必要なことは、2の倍数であり3の倍数である個数、つまり6の倍数の個数を引くことだとわかります。

よって正解は、
15(2の倍数の個数)+10(3の倍数の個数)-5(6の倍数の個数)
=20
です!

3つの場合は「足して、引いて、足す」

【問題】
1以上30以下の自然数を考える。
A={x|xは2の倍数}
B={x|xは3の倍数}
C={x|xは5の倍数}
このとき、A∪B∪Cの要素の数を求めよ。


【解説】

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1から30までの自然数において、
2の倍数は15個
3の倍数は10個
5の倍数は6個
です。

ここから、先ほどやったように重なりを引いていきます。
2と3の最小公倍数は6
3と5の最小公倍数は15
5と2の最小公倍数は10

6の倍数は5個
15の倍数は2個
10の倍数は3個

ですね。

さて、ここで重要なのは、「引きすぎてはいないか?」ということです。
先程のベン図で、重ねてみたり引いたりしてみたりしてください。どこか1つ、6+15+10-5-2-3だと不都合が出て来る箇所があります。

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この赤いところです。
ここは、最初の2の倍数、3の倍数、5の倍数を足すところで2回余分に足されているのですが、6の倍数、15の倍数、10の倍数を引くところで3回引かれてしまっています。
つまり、1回余分に引かれている状態なのです。

よって赤い部分、つまり30の倍数の個数を足すと、答えが求まります。
6+15+10
-5-2-3
+1
=22

よって、22個です。

センター試験を解いてみよう

では、最後にセンター試験にチャレンジしてみましょう。



平成28年度数学1A 第1問

http://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?f=abm00007094.pdf&n=2801-0402+suugaku1A.pdf

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【解答】
サ…3
シ…0
ス…5
セ…4

※サを、1にした方は多いのではないでしょうか。
A={1, 2, 3}などからわかるように、要素を{}で囲うと、それは集合としてみなされます。
つまり{0}は集合であり、Aの部分集合です。なので∈ではなく⊂を使います。


ちなみにセンター試験で集合が出題されるときは、必要条件・十分条件も一緒に出されることが多いです。こちらの記事もぜひ読んでみてくださいね。

必要条件・十分条件とは?例題を解きながら違いをマスターしよう!

最後に

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ここまで集合やド・モルガンの法則などについて解説してきました。
最初にも言ったとおり、大事なのは日本語を正しく理解することです。記事で日本語の意味を確認したら、問題集やセンターの過去問で練習してください!
あなたが集合をマスターできることを願っています。

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この記事を書いた人
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現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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