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【方べきの定理】公式や証明を慶應生が詳しく解説◎例題で使い方も理解!

はじめに

方べきの定理、あなたは理解できていますか?
名前も変だし、普段あまり出てこないので忘れがち…

でも実は、公式を使えるだけでなく証明方法まで知っておいてほしいくらいに、方べきの定理は重要なんです。
実際にセンター試験(2015年)にも出題されています。

そこで今回の記事では、方べきの定理の公式だけでなく、公式の証明、さらには方べきの定理の逆とその証明まで解説しています。
また、例題もあるので使い方まで理解できるようになっています!

方べきの定理が出題された2015年のセンター試験問題も抜粋して載せているので、自信のある方は挑戦してみてください!

方べきの定理とは?

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方べきの定理とは

円に交わる2本の直線に関する公式

です。


下のように3つの場合で成り立つ公式です。
なんだか特殊な図形ですね!このような形を見たらすぐに方べきの定理を思い浮かべましょう!

【パターン1】

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【パターン1’】

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【パターン2】

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3つの図形パターンがわかったところで、それぞれについて成り立つ方べきの定理の公式を見ていきましょう!

パターン1

まずはパターン1からです。

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上の図形に対して、

AB×AC=AD×AE

が成り立ちます。

これを方べきの定理と言います。

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私の場合は公式を丸暗記するのではなく、図形を見て公式のイメージを掴んでいました。

特に方べきの定理は図形的なイメージを掴みやすい定理ではないでしょうか。


言葉で説明すると、
円の外側の点から円に向かって二点で交わるように2本の直線を引いたとき、
外側の点から手前の交点までの距離と、奥の交点までの距離をかけたものが等しくなるというイメージ
を持っていました。

【パターン1’】

17738032

次はパターン1’についてです。

点A が円の内部にあるために図形の見た目がパターン1とかなり違っていますが、成り立つ公式はパターン1と同じです。

パターン2

パターン2は、パターン1の特殊な場合についての公式になります。

パターン1では円と2つの交点を持っていた直線AEが
パターン2では円の接線になっています。

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特殊な場合といっても、難しく考える必要はありません。

パターン1の点Dと点Eが重なったと考えれば悩むことなく

AB×AC=AD ²

という式が出てきますね!

17737981

方べきの定理の証明

15363045

方べきの定理は三角形の相似を用いると簡単に証明することができます。

パターン1

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四角形BDECは円に内接しているので、

∠ABD=∠AECー①  

また、∠Aは共通ー②

①②より二組の角がそれぞれ等しいので

△ABD∽△AEC



それぞれの辺の長さについて
AB:AE=AD:AC

∴AB×AC=AD×AE(方べきの定理)

パターン1’

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パターン1’は、角度が等しいことを示すために円周角の定理を使いますが、それ以外はパターン1と同じ証明方法になります。


円周角の定理より、

∠ADB=∠ACEー①

対頂角∠Aは等しいー②

①②より
△ABD∽△AEC
(以降はパターン1と同じ)

パターン2

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接弦定理より、

∠ADB=∠ACDー①
∠Aは共通ー②

①②より

△ADB∽△ACD

よってAB:AD=AD:AC

∴AB×AC=AD²

三角形の相似を利用すれば簡単に証明することができましたね??

接弦定理の記事もどうぞ!

接弦定理とその証明を図で詳しく解説!接弦定理の逆も紹介◎

方べきの定理の逆

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方べきの定理には、「逆」と言うものが存在します。

方べきの定理ででてきた式

AB×AC=AD×AE

が成立していれば、4点B、C、D、Eは同一円周上にあることが証明できると言うものです。

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が成立すれば

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図の点線のように4点B、C、D、Eが同一円周上にあることが証明できます。

方べきの定理の逆の証明

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では、なぜ方べきの定理の逆が成立するのでしょうか??


方べきの定理に逆を証明していきましょう!

【方べきの定理の逆の証明】

AB×AC=AD×AEより、
AB:AE=AD:ACー①
∠Aは共通(1枚目)、また対頂角∠Aは等しい(2枚目)ー②
①②より、二組の辺の比とその間の角が等しいので

△ADB∽△ACD

これにより、
1枚目では四角形BDECの対角の和が180°となることにより、
2枚目では円周角の定理の逆によりBCDEは同一円周上に存在する。(証明終わり)



方べきの定理や方べきの定理の逆の証明では、これまでに習ってきた図形的知識が多くでてきます◎

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方べきの定理の例題

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ここからは方べきの定理を使って解く問題を見ていきましょう!

3問例題を用意しました。

実際に解いてみてください!

【例題1】

AC=10、AD=6のとき、ABの長さを求めなさい。

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【解説】

方べきの定理より、

AB×AC=AD²

AB×10=36

AB=18/5

【例題2】

AB=6、AD=3、AE=8のとき、ACの長さを求めなさい。

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【解説】

方べきの定理より、

AB×AC=AD×AE

6×AC=3×8

AC=4

【例題3】

PA=3、AB=9、PC=4、CD=5のとき、
4点A、B、C、Dが同一円周上にあること示しなさい。

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【解説】

4点が同一円周上にあることを示すには、

・円周角の定理の逆
・円の内接条件
・方べきの定理の逆

の3つを主に使います。


ここでは辺の長さがわかっているので、方べきの定理の逆を使うのではないかと考えながら解いてみましょう。

PA×PB=3×(3+9)
   =36
PC×PD=4×(4+5)
  =36
よって 
PA×PB=PC×PD
なので方べきの定理の逆より、4点A、B、C、Dは同一円周上にある。(証明終わり)

入試問題中の方べきの定理

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方べきの定理はセンター試験にも出題されたことがあります。

2015年度数学1A第6問を見てみましょう。

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大学入試センター試験 平成27年度本試験の問題 より引用

この問題の一番最初の空欄【アイ】を求めるときに方べきの定理を使います。

センター試験は最初に求めた値を使いながら次の問題を解いていくので、方べきの定理を理解していなければ第6問をまるまる落とすことになってしまいます。

またこの問題には図がついていないので、自分で図を書く必要があります。

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図について方べきの定理より、

CE×CB=CA×CD
   =5×2
   =10 

計算自体は簡単ですが、この問題を解く上ではかなり大切な計算です。

最後に

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ここまで、

・方べきの定理とは何か
・方べきの定理の証明
・方べきの定理の定理の逆
・方べきの定理の逆の証明
・方べきの定理についての例題
・入試問題中の方べきの定理

を見てきました。

あまり馴染みのない名前ですが、方べきの定理は理解してしまえば簡単です。
円と2直線についての問題であれば、真っ先に方べきの定理を思い浮かべるようにしてください!

あなたが方べきの定理を使いこなせるようになることを願っています!

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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