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対角線の長さ、本数の求め方とは?公式を使って一瞬で計算しよう!

はじめに

四角形の対角線、これ一体どうやって長さを求めるんだ…と思ったことはありませんか?
そして、対角線の本数、四角形や五角形は実際に引いてみて数えられるけれど、それ以上になると引いて数えるのは大変です。何か公式のようなものがないのだろうか?と考え出すことになるでしょう。
そんな対角線に関する知識を、この記事では一気に学ぶことができます!
更に対角線を用いた面積の求め方という、一風変わった公式も紹介していますよ。

対角線とは

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まず対角線とはどのようなものを言うのでしょう?
対角線の定義は、「多角形の隣合わない2つの角の頂点を結ぶ線分」です。
下図の多角形ABCDEでいうと、線分AC,BDが「対角線」に当たります。逆に線分BCは対角線とはいいません。

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対角線の長さの求め方

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正方形の対角線

正方形の対角線の長さの求め方には、公式があります。

対角線の長さ=√2×(1辺の長さ)

となります。
よって下図のような正方形においては、対角線BDの長さXは、√2aです。

なぜこのような公式が導かれるかといえば、対角線と正方形の2辺で作られる直角三角形で三平方の定理を使っているだけです。
下図の正方形なら、△ABDにおいて三平方の定理を用いることで、このような公式が出てきます。

三平方の定理について詳しく知ろう!

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長方形の対角線

長方形の対角線の長さについても、正方形の場合と同じく三平方の定理から導き出せる公式があります。
下図の長方形ABCDにおいて、aの二乗とbの二乗の和の平方が対角線の長さとなります。

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平行四辺形の対角線

平行四辺形の対角線の求め方は、少し難しいです。下図を例に具体的に見ていきましょう。
まず、補助線として角Aから辺CDに垂線を下ろします。そこでできる直角三角形ADHを利用します。
辺ADの長さがわかっており、角Dの大きさは60°なので、直角三角形の3辺の比1:2:√3が使えます。

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直角三角形の3辺の比を用いて、AH=4√3、DH=4と分かります。また、CD=12よりCH=8もすぐにわかります。
これで、やっと対角線の長さを求める準備が整いました。
直角三角形AHCにおいて、三平方の定理を使うだけです。

AC=√(AH^2+CH^2)
=√(48+64)
=4√7

となり、対角線の長さACが求められました。

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多角形の対角線の本数の求め方

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多角形の対角線の本数は、いちいち引いて数えなくても公式を使って一瞬で求められます。

対角線の本数=(頂点の数)×(頂点の数−3)÷2

という公式が存在するのです。

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さてこの公式、なんで成り立つのか興味はありませんか?
段階を踏んで説明していきましょう。

まず、下図の五角形で頂点Aから対角線を引く時、「隣り合った2つの頂点」「頂点A自身」には対角線を引くことはできませんよね。
つまり頂点Aから対角線を引ける先は、それら「3」つを除いた残りの頂点C,Dという「5−3=2」個だけです。
公式の(n-3)とは、一つの頂点から対角線を引ける先の頂点の個数を表しているんですね。

そこで、(n-3)に頂点の個数nをかけるわけですが、これだけではまだツメが甘いです。ここから、「重複」を除去していかなければいけません。

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一本の対角線を考えてみてください。
下図を見て分かるように、一本で2つの頂点が含まれていますよね。
だから頂点の数を基準に対角線を数えようとしてn(n-3)と計算をすると、実際の対角線の本数の2倍の数字が出てしまいます。
よって、n(n-3)を2で割ることで本当の対角線の本数が求められるんですね。

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対角線を使った面積公式

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四角形の面積を、対角線の長さと角度を利用して求める公式が存在します。
下図のように、対角線の長さをかけて、交わったところの角の正弦を更にかけて、2で割ることで面積が出ます。
しかし、これは三角関数の知識がないと使いこなせない公式です。三角関数について知りたい人は以下の記事も見てくださいね。

三角関数について詳しく知ろう!

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最後に

対角線に関わる知識はたくさんあり、整理するのが難しいかもしれません。
そのためにポイントを伝えると、
対角線の長さは「三平方の定理」が関わってくるということ、
対角線の本数は「頂点の数×(頂点の数−3)÷2」で求められるということ、
対角線の長さと角度を使って面積を求める公式があるということ、
この3つをこの記事を通して理解しておいてほしいです。
基礎を理解してしまえば難しい応用などは出ないので、まず基本的な知識を押さえるようにしておきましょう!

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この記事を書いた人
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現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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