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置換積分法のコツや三角関数への応用を慶應生が詳しく解説!

はじめに

数学3といえば積分ですね。
「計算が多く、見た目も複雑で嫌になってしまいそう…」と思ってませんか?

諦めるにはまだ早いですよ!
実は計算が簡単になり、見た目もスッキリさせてくれる置換積分法なるものがあります。
特に三角関数の積分には効果抜群です。

早速この記事を読んで、置換積分法のコツを掴んでいってください◎

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置換積分法とは?

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置換積分法とは、「そのままの形では積分しにくいときに、変数を置き換えること(置換)により積分を簡略化する方法」のことです。
これまでにも置き換えによって計算が簡単になることはあったと思います。その積分バージョンですね。

置換積分法の公式を紹介!

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置換積分法にも一応公式はありますが、見てもよく分かりません。参考程度に見てください!

置換積分法の公式(不定積分)

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置換積分法の公式(定積分)

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この公式を見て「なんかこの公式は合成関数の積分公式に似てる…?」というイメージを持つだけで大丈夫です!
(実は置換積分法は合成関数の積分を利用した方法なんです)

置換積分法のやり方を解説!

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上で紹介した公式なんて忘れてしまいましょう。公式の代わりに置換積分法の手順を理解してください。
まずは不定積分バージョンから見てみましょう。

【例題(不定積分)】

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【STEP1】何を置き換えるか決める

実は置換積分法において、何を置き換えるかを決めることが最も難しいんです。
置き換えるものが決まれば後は計算だけです。
置き換えの目安は後で紹介しますが、実はその目安が確実に当たるわけではありません。
自分で色々試してみる姿勢が重要になってきます。

部分積分で大切なのは
・「ある程度の慣れ」
・「上手くいくか分からないけれど計算してみること」
です。


さて、上の例題。
もちろんそのまま展開して求めることも可能ですが、3乗を展開するのはめんどくさいですね。
そこで、展開しなくてもいいように
2x+5=t
と置いてみます。

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【STEP2】「X=◯」の形に変形する!

ここではxとtの対応関係を分かりやすくするために、
「x=◯」
の形に変形します。

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【STEP3】積分の式をxからtに置き換えよう!

置換積分法のメイン、置き換えです。
先程の「x=◯」の形を利用して式全体をtで表しましょう。

ここで大切なのは「dxもdtで置き換える」ということです!

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これで元の式は全部tの式に置き換えられます!

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【STEP4】計算してからxに戻す

最後は計算してから、tをxに戻せば終了です!

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やり方だけ見れば、全然難しくなさそうですね。dxもdtで置き換える部分だけ注意してください。

例題【定積分】

今度は定積分の置換積分法を見ていきましょう。

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不定積分の例題に積分区間がついただけですが、この積分区間にも置き換えが必要になります。
【STEP2】の置き換えの式でxに対応するtの値を求めましょう。

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の式より、
x=2のときt=9
x=5のときt=15
となるので

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と計算できます。

置換積分法と部分積分法の使い分けは??

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置換積分法と部分積分法。混乱してしまいそうですが、使い分けがあります。

【部分積分法】は「異なる関数の積で、片方を微分すると簡単な形になりそうな場合」に使います。
経験上、logやeが積の形で出てきた場合に使うことが多いです。三角関数のn乗の場合も使うことがあります。

【置換積分法】は「関数が複雑な場合に見やすくする場合」に使います。
経験上、sinやcosなど三角関数や多項式の累乗の場合に付くことが多いと思います。

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置換積分法の例題

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それでは置換積分法を実際に使ってみましょう。

【例題1】基本的な置換積分

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この場合は、ルートごとtと置きます。ルートの外のx+3をtとおいてしまうと、
√(x+1)=√(t−2)となり、結局ルートを外すことができません。

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後は代入するだけですね!

【例題2】基本的な三角関数の置換積分

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三角関数と置換積分法の融合問題です。三角関数の式変形が得意で、倍角の公式・半角の公式・和積の公式などを確実に使えるようにしていれば置換積分法を使わなくても解くことができますが…。

置換積分法で解く場合には、積分範囲の置き換えに注意してください。

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このとき

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xとtの対応表を書くと分かり易いですね。後は代入するだけです。

【例題3】三角関数を用いた置換積分法

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例題3と例題4は解き方を知っていないとなかなか解けません。私も最初は解けませんでした。

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こんなの思いつかないですよね(笑)次回から解けるようにしっかり復習してください!

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三角関数の置き換えでも対応表を書くことをおすすめします。
tに置き換えると

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すごく簡単な形になりました。置換積分、便利。

【例題4】三角関数を用いた置換積分法

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この問題も知識がなくては解けません。

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次に、dxとdtの関係を求めます。

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これらを求める式に代入すると

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置換積分、ほんと便利。

【例題5】三角関数への応用

最後に、置換積分法の単元で最も大切な問題を紹介します。確実に解けるようになってください。

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複雑な積分で三角関数がでてきたときにはまず最初に【tan x/2 = t】 と置いてみてください。

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後は他のcosやsinをtで表して計算するだけですが、三角関数の知識をフル活用します。
⬇三角関数の公式が不安な方は下の記事も読んでみてください⬇

三角関数の証明付き公式集!加法定理などを東大生が1から解説!

半角の公式の覚え方&使い方を解説!大学入試でよく見る形を解説

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ちょっと置き換えの式変形が長いですが、積分自体はとても簡単になりましたね。

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答えは

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になります。

最後に

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ここまで、
置換積分法とは何か
置換積分法のやり方
置換積分法と部分積分法の使い分け
置換積分法で解く問題
を見てきました。
置換積分法はとても便利で、数学3の積分問題でよく使います!
確実にコツを掴んでください◎

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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