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点と直線の距離の公式と証明を慶應生が解説!例題で使い方もバッチリ!

はじめに

図形問題で、なにかと目にする点と直線の距離の公式。

「ゴチャゴチャしていて覚えられない」
「証明もベクトルを使っていてよくわからない…」
なんて悩みを持っていませんか?


様々な図形問題で役に立つ公式であり、証明は2013年に大阪大学の文系の入試問題として出題されました。

こんな大切な公式を理解しないまま入試に挑むわけにもいきませんね??


点と直線の距離の公式がいまいち分からない人は、この記事を読んで公式とその証明を完璧にしましょう!!

点と直線の距離とは?

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まずは

点と直線の距離とは何なのか

を見ていきましょう!

「点と直線の距離」の定義

下の図を見て下さい。

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この図で、

点Aと直線ax+by+c=0との距離とは何か

がひと目でわかりますね??



つまり、点Aと直線lの距離とは、

点Aから直線lに引いた垂線の長さ

のことです。


非常に重要なことなので、点と直線の距離の公式を用いる時は必ず上の図を思い出してください。

点と直線の距離の公式

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次に、点と直線の距離を求めることができる公式を紹介します◎

17502604

この公式で気をつけることは、

分子に、点Aの座標を直線lの式に代入した数字の絶対値がくること

です。

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覚えるときのコツは、

分母には文字の係数の2乗のルート、分子には直線の式に点の座標を代入した値がくる

というイメージを持つことです。


点と直線の距離に関する問題を10問程度解くと公式のイメージが掴めるようになります。

点と直線の距離の公式の証明

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ここからは、点と直線の距離の公式の証明を紹介します。

この証明は、大阪大学の入試問題にも出題されました。


学校では、ベクトルによる証明方法を習った方が多いのではないでしょうか。
今回の記事では、ベクトルを習っていない中学生でも理解できるように、三角形の相似を利用した証明方法を紹介します。



ベクトルでの証明を難しいと感じてしまった人も、三角形の相似を用いた方法なら理解できると思います。

三角形の相似を用いた証明方法

下の図で、青く示しているのが点A(x1,y1)と直線l : ax+by+c=0です。

計算しやすくするために直線lの式をy=px+qとします。(まずは直線がこの形で表すことができる場合を考えます。)

また、計算しやすくするためにDE=1としていますが、∠CED=90°であれば長さはいくらでも構いません。

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【証明】

上の図のように、∠CED=90°、DE=1になるように点B〜Eを取る。

対頂角は等しいので、∠ACB=∠DCE

よって直角以外の一つの角が等しいので、

△ABC∽△DECー①


直線の傾きがpなので、DE=1のとき、CE=p


①より
AC:AB = DC:DE
y1-(px1+q):d = √(p²+1):1

17503097

これを計算すると、

17503377

となります。


ここで、直線の式の一般形ax+by+c=0を式変形すると、

17503396

これとy=px+qを比較すると、

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となるので、上のdの式に代入して

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(証明終わり)





途中式を分かりやすくするために、一般系ではなく馴染みのある直線の式で説明しました。 

公式は一般系の係数を用いたほう見やすくなるため、最後にまた一般形の係数に戻しました。




次にb=0、つまり直線の式がx=−c/a(定数)となるときの証明を解説します!

b=0のとき、(x1,y1)から直線x=−c/aに引いた垂線の長さは

d=|x1+c/a|=|ax1+c| / |a|
(直線のx座標から点のx座標を引くと垂線の長さですね!)

と表されます。


これは上の公式にb=0を代入した形ですね!

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点と平面の距離の公式

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2次元(平面)での点と直線の距離は、3次元(立体)での点と平面の距離に相当します。

ここでは点と平面の距離の公式を紹介します。

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点と直線の距離の公式と似ていますね◎

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点と直線の距離の公式を使う問題

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点と直線の距離の公式を使う例題を2問用意しました。

使い方を確かめてみてください。

【問題1】

直線y=2x-5と点(5,9)の距離dを求めよ。

【解説】

まずは直線の式を一般形に変形しましょう。

⚠点と直線の距離の公式は一般形の式についての公式でしたね。

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公式を使う準備ができました。

あとは公式に当てはめるだけです!

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【問題2】

点(1,9)から直線y=−kx+3に下ろした垂線の長さが2である。
このとき実数kの値を求めよ。

【解説】

まずは直線の式を一般形にします。

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一般形に式変形できたので、
公式を使っていきましょう!

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絶対値の外し方に注意すれば、問題1とほぼ同じ問題ですね!

点と直線の距離を利用して解く問題を見てみよう!

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大学入試問題には、点と直線の距離を求めなさいという直接的な問題はほとんど出題されません。

しかし、点と直線の距離の考え方を用いて解く問題は多く出題されます。


点と直線の距離の効果的な使い方を知っておくと、大学入試でも役立ちます!

問題

円C:x²+y²=8と直線y=-x+kの共有点の個数を調べなさい。

【考え方】

「円の問題に点と直線の距離の公式??」

と思うかもしれません。


直線の式を円の方程式に代入すると2次方程式が出てきます。
その2次方程式の実数解の個数(交点のx座標の個数)を、判別式で調べる方法もあります。


しかし、この問題で点と直線の距離の考え方を用いると、図形的な考え方ができ、イメージを掴みやすいのです。


実際にどのように考えるのか見ていきましょう!

まずは、直線と円の位置関係を見ていきましょう。

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円と直線の共有点についてのイメージを持つことはできたでしょうか??



では、この共有点の個数と、点と直線の距離の考え方がどのようにつながるのでしょうか。



結論から言うと、

中心と直線の距離が
・半径より大きい
・半径と同じ
・半径より小さい
の3つで場合分けすることができます。

【中心と直線の距離>半径】

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【中心と直線の距離=半径】

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【中心と直線の距離<半径】

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【解説】

ここまでの考え方を理解すれば、この問題も簡単に解けてしまいます。


まずは円Cの中心の座標と半径を求めましょう。

円Cの方程式より、中心の座標は(0,0)、半径は√2です。


直線x+y−k=0と(0,0)の距離dは、点と直線の距離の公式より
d=k/√2

よって、

・k/√2>√2 ⇔ k>2のとき 共有点0個
・k/√2=√2 ⇔ k=2のとき 共有点1個
・k/√2<√2 ⇔ k<2のとき 共有点2個

という答えになります。(解説終わり)

判別式で解く方法に比べると、かなり図形的な考え方ではないでしょうか??


この方法を使うと、円と直線の関係を視覚的に捉えることができます。

最後に

ここまで

・点と直線の距離とは?
・点と直線の距離を求める公式
・点と平面の距離を求める公式
・点と直線の距離を求める問題
・点と直線の距離を利用して解く問題

について見てきました。

図形問題では使うことが多い公式なので、確実に使えるようにしましょう!

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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