17408920

判別式(D、D/4)を詳しく解説!例題を元に使い方も説明します!

はじめに

名前をよく聞く「判別式」。

・何を判別しているの?
・なんであの公式になるの??
・D/4って何?

といった疑問を持ったことがあるのではないでしょうか。


今回の記事では二次方程式の「判別式」を取り上げます。


判別式の基本的な知識から、問題での判別式の使い方まで詳しく解説しています。
ぜひ、判別式を使いこなせるようになってください!

判別式とは?

17407266

まずは判別式とは何かについて見ていきましょう!

判別式の公式

判別式の公式は教科書や授業で見るように

17387715

という形をしています。

判別式は英語でdiscriminantといいます。
その頭文字を取ってDと表記します。

判別式を詳しく解説!

17407276

判別式と言われても、何を判別するのか、どんな時に使うのか分からないですよね。

まずは判別式を使うことで何ができるのかを見ていきましょう!

判別式が判別するのは二次方程式の実数解の個数!!

判別式とは、二次方程式の実数解の個数を判別することができるという利点を持った式なんです!


下に、判別の仕方を示しました。
⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓

17388092

判別式が

・0より大きい
・0と等しい
・0より小さい

の3つの場合で、二次方程式の実数解の個数が判別できるのです。

判別式の値で実数解の個数が判別できる理由

ではなぜ、判別式の値の大小で実数解の個数が判別できるのでしょうか??



ここでもう一度判別式の公式を見てみましょう。

17387858

この形、どこかで見た覚えはありませんか?



そうです、二次方程式の解の公式に含まれていました。

まずは二次方程式の解の公式を思い出してみましょう!

17407139

ルートの中身が判別式と全く同じ形になっていますね??



実は二次方程式の解の公式のルートの中身で実数解の個数を判別できるのです。


実数解の個数を知りたい時に、毎回二次方程式の解の公式を引用するのはとてもめんどくさいですね??
説明を簡略化するために、ルートの中身を判別式とする表記法ができたわけです?

【D>0のとき】

17388268

【D=0のとき】

17388428

【D<0】のとき

17388408

上のような理論で、判別式で解の個数の判別ができます。



実数や複素数についての詳しい解説は下のリンクをクリック!!!

⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓

実数とは?複素数・自然数との違いは?意外と知らない定義を解説!

D/4とは??

17407288

判別式では、D/4を用いる場合もあります。

どのようなときに使うのでしょうか。

D/4を使うのは、二次方程式のxの係数が偶数のとき!

D/4を使うのは、二次方程式のxの係数が偶数のときです。

xの係数が偶数のときは、二次方程式の解の公式も簡略化できましたね?

17389040

上の式変形では、分母分子を2で割っています。
つまり、ルートの中身は4で割られていることになります。

しかし判別式Dは、式変形前の(4で割られる前の)値を示すため、
簡略化するために4で割ったD/4を用います。

17408152

Studyplus slogo@2x
学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
Pc@2x

判別式Dの使い方を例題で解説!

17407290

ここからは判別式の使い方を、例題を解きながら見てみましょう!

判別式の例題①

17389092

【解答】

二次方程式x²+2x+2=0の判別式をDとおく。(⚠この一文を必ず書くこと!)

D/4=1-1・2
=−1<0

となるので、実数解は0個(解答終わり)

解答自体はとてもシンプルです。
ですが、注意しなくてはいけないことが1つあります。

それは、

「二次方程式〜の判別式をDとおく」

という記述が必要だということです。


「求める長さをxとおく」場合と同じく、判別式をDとおくことにも説明が必要です。

判別式の例題②

17389213

【考え方】

この問題は、グラフを書いて、kの大きさで場合分けして共有点の個数を求める解き方以外にも解く方法があります。


判別式を用いて解く方法です。


二次関数と直線の共有点の問題を、
二次方程式の解の個数の問題として考えます。

つまり、二次関数の式と直線の式の連立させてできる二次方程式の実数解(xの実数値)の個数が共有点の数と一致することを利用します。


この問題で大切なのは、

共有点の個数を調べる問題は、二次方程式の判別式の問題に置き換えて解くことができる

ということです。

17389382

17389383

上のように、判別式の利用方法はほぼ2つになります。


例題①のような直接的な問題と
例題②のような共有点の個数についての問題です。

判別式を扱う大学入試問題

17407294

判別式を使って解く問題は、大学入試問題でも多く出題されます。

今回紹介する問題は東京大学の平成29年度第二次学力試験より引用しています。

平成29年度第2次学力試験試験問題

17389533

見た目は二次関数の問題ですが、例題②のように共有点に関する問題だと考えると判別式を用いることになります。


接線以外の直線では、曲線との共有点は0個または2個となりますが、接線では共有点は1個(重解を持つ)になります。
判別式を使うことで係数だけを取り出すことができるので、aを用いてbとkを表すことができます。


判別式は、グラフの共有点に関する問題と密接な関わりがあります。
問題文に共有点の文字が出てきたときには。判別式を思い浮かベられるようになっておくといいでしょう!

17407321

最後に

ここまで、

・判別式とは何か
・判別式の解説
・いつ判別式D/4を使うべきか
・判別式の練習問題
・判別式を使って解く大学入試問題

を見てきました。

判別式についての知識を整理できたのではないでしょうか。
この記事を読んだあなたが判別式を使いこなせるようになってくれることを願っています。

Studyplus slogo@2x
学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
Pc@2x
この記事を書いた人
14720526
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

関連するカテゴリの人気記事

14930700?w=120

【文系大学受験】数学問題集おすすめ一覧〜センターから東大受験まで〜

14926323?w=120

数学3(数三)の勉強法!微分積分の苦手を克服しよう!

15622206?w=120

因数分解とは?因数分解の公式と解き方を慶應生が教えます!【問題付き】

14702207?w=120

【大学受験 数学勉強法】理系の苦手を潰す!問題集・参考書の選び方も解説

15702659?w=120

東大生が教える連立方程式の解き方〜中学数学からセンターまで〜

16020625?w=120

三平方の定理が一瞬で理解できる!公式・証明から計算問題まで解説

関連するキーワード

スマホアプリで
学習管理をもっと便利に
Foot bt appstore
Foot bt googleplay