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部分分数分解の公式とやり方を解説!数列との融合問題も扱います!

はじめに

あなたは部分分数分解を単なる「式の変形」だと思い込んでいませんか?

実は数学B の数列の単元や数学3の積分計算でとてもお世話になる、大切な式変形なんです。


今回は、その「部分分数分解」を、公式・やり方だけでなく数列の問題への応用を詳しく解説しました!

この記事を読んで、部分分数分解のコツを掴んでください!

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部分分数分解とは?

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式変形の単元や数列、積分の単元でよく見る部分分数分解。

まずは「部分分数分解とは何なのか」と「部分分数分解の目的」を見ていきましょう!

部分分数分解とは?

部分分数分解とは、

「一つの分数を、いくつかの分数の足し算や引き算であらわすこと」

です。

通分の逆と言えば分かりやすいでしょうか???



部分分数分解の元になる分数は、

「分母が因数分解できる」分数

になります。



実際に例を見たほうが分かりやすいので、例を見ていきましょう!

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分子や分母に文字式がなくても部分分数分解をすることができます。

部分分数分解をする前に比べて見やすく、シンプルな分数として扱うことができそうですね◎

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実際には文字式を含む分数を部分分数分解することが多く、下の例のような計算をすることになります。


ここまでで部分分数分解のイメージはできたのではないでしょうか??

部分分数分解の目的

では、どのような場面で部分分数分解を用いるのでしょうか。



数列の場面で部分分数分解を使うときには、

与えられた数列が分数である場合にうまく部分分数分解することで、

下の図のように色を付けた部分が打ち消し合い、

結局数列の和を最初の数字と最後の数字の和として簡単に求められる事があります。


とても楽ですね◎

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また、数学3では複雑な分数を積分しなくてはいけない場面も出てきます。


そんな場合も、部分分数分解を用いることで

簡単な積分にすることができます!!

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部分分数分解を使うことで、計算が簡単になる場合があることを分かってもらえたでしょうか??



計算が簡単になるのであれば、部分分数分解、勉強するしかありませんね!



ここから部分分数分解の公式とやり方を見ていきましょう!

部分分数分解の公式

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部分分数分解の場合は、公式と言うよりは

「式変形で目指すべき型」

と言った方がいいかもしれません。



型を知っていることで、

部分分数分解ができることに瞬時に気付くことができ、積分や数列計算を速くできるようになります!!



下の公式(型)紹介では、
私が受験生だったときにイメージしていたことを
吹き出しとして書いてみました。
参考にしてみてください。


⚠ 
 文字ばかり使うとあまりにも見づらいため、
 公式解説ですが、具体的な数字を用いている場合があります。

 具体的な数値を用いた場合には赤色にしました。
 黒色・緑色の数字は例ではなく、公式の一部です。



 一言一句全てを丸暗記するのは、効率の悪い勉強方法です。

 部分分数分解の型を見ながら問題を解くことで、
 「経験として型を理解する」と
 効率良く身につける(自然と覚える)ことができます。

公式①

まずは分母が2次式で分子が定数の場合①を見てみよう!

これは、②の特殊な場合の型です!

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公式②

②は分母が2次式、分子が1次式の場合を見ます。

P=0とすると、①の型とほぼ同じになります。

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公式③

③も、分母が2次式、分子が1次式ですが、②の特殊な場合です。

②と異なる部分は、分母が2乗の式になっている部分です。

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公式④

④は分母が3次式のとき(⑤)の特殊な場合です。

②と似ていますね。

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公式⑤

真っ赤っ赤になってしまってすいません。

⑤はイメージだけ捉えてもらえれば大丈夫です。

問題を解いているうちに自然と覚えます。


⑤だけ部分分数分解後の分子が1次式になります。

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部分分数分解のやり方

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部分分数分解の型が分かれば、後はやり方を理解するだけで誰でも部分分数分解ができるようになります。



まずは数式を見て部分分数分解できるかどうか判断しましょう。

部分分数分解する前にしておくべきこと

部分分数分解をする前にしておくべきことは、
部分分数分解できる形にしておくことです。


つまり、

・分母を因数分解すること

・分子の字数を分母の字数よりも小さくすること

の2つです。


この2つを終えてから、部分分数分解に入りましょう!

部分分数分解の例題

例題をもとに、部分分数分解のやり方を見ていきましょう!

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【解説】

まず最初に解答用紙に書くべきことは

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の一文です。

ここで部分分数分解の最終的な形を判断するための型だったのです。

どの型に分解できるかをまず最初に書きます。



そして、分母を払います。

このとき、(分母)≠0であることを明記してください。

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ここから、

・計算が楽だけど記述に気をつけなければいけない方法(ⅰ)
・計算は大変だが確実な方法(ⅱ)

に分かれます。

(ⅰ)代入法

分母を払う時は分母が0出ないことを確認しなくてはいけません。

しかし、この代入法では分母を払った後の式にx=0とx=-3を代入してa,bの値を求めます。

そこで、記述式の試験のときには「あたかもまともに係数比較したかのように」記述する必要があります。



書かなくてはいけない部分と書いてはいけない部分を確実に理解できてから、方法(ⅰ)を使うようにしてください。

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上のように余白でa,bの値を求めた後に

下のように書きます。

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後は型に代入して終わりです◎

(ⅱ)係数比較

次に、真面目なa,bの求め方を紹介します。

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(ⅲ)答え

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部分分数分解では、分子を1にすることがほとんどです。

分子を1にする理由は、

「見やすくするため・計算しやすくするため」

です。


上の例のように、部分分数分解をした後に帳尻を合わせるかのように分子を1にする(分数でくくる)ことが多いです。

今回の例題は、展開がそこまで難しくないので方法(ⅰ)の有り難みが薄れていますが、、、

型⑤くらいになれば展開がかなりめんどくさくなるので、とても有効な方法です!

部分分数分解と数列の融合問題

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入試問題としてよく扱われる数列。

その数列との融合問題としても部分分数分解が出現します。



ですが例題を見れば数列への応用は一瞬で分かります!

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もうすでに部分分数分解してほしそうな見た目をしています。

一般項のみならず、シグマ計算全てを部分分数分解してみましょう!

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数列の問題で部分分数分解が出てくるのは、この「数列の和」を求める場合がほとんどになります。



毎回最初と最後の数字が残るわけではないので、
数列の両端を複数個書き出して実際にどこが打ち消しあうか確認することが大切です。

最後に

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今回は、

・部分分数分解の定義
・部分分数分解の公式
・部分分数分解のやり方
・数列と部分分数分解の融合問題

について見てきました。

積分計算や数列で役に立つ式変形なので、ぜひマスターしてください!

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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