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東大生が円錐の表面積・体積の簡単な求め方を解説!公式を証明しよう!

はじめに

中学数学で習う、円錐の表面積・体積の求め方。

「習ったけどそのあと復習してない…」
「円柱とはどう違うんだっけ?」
「表面積って何か公式あったよね?」

なんて思ってはいませんか?
忘れた頃に出てくるのが円錐の問題です。この機に一気に復習してしまいましょう!

円錐の表面積の求め方

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はじめに、円錐の表面積の求め方を説明します。

円錐の表面は、大きく分けると「側面」と「底面」に分けることができます。

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しかし、立体のままだと表面積をどう求めるのかわかりにくいですよね。なので、円錐を開いた図、つまり展開図を見ながら考えてみましょう。

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これが展開図です。
底面が円なのは、円錐は底面が円であるゆえに「円錐」と呼ばれているわけですから当然ですが、側面が扇形になっているのは意外かもしれませんね。

円錐の表面積を求めるということはつまり、上の扇形(側面)と円(底面)の面積の合計を求めればいいわけです。
まずは底面の面積から求めてみましょう。

まずは底面の面積から

先ほど言ったとおり、底面は円です。なのでその面積は、底面の半径をrとすると
r²π
と表せます。

側面の面積は「広げて」求めよう

次に側面、つまり扇形の面積です。
扇形の面積は、半径と中心角の大きさがわかれば求めることができます。

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円錐の展開図における扇形の半径は、「母線」と呼ばれます。立体においては、

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この線ですね。

つまり側面の面積は、
(母線)²×π×(中心角/360)
で求められるわけですが、実は、実際の問題において中心角を書いてくれていることはほとんどありません。
ではどうすればいいのでしょう?

ここで重要なのが、「側面の円周と、底面の円周は一致する」ということ。
立体を見れば明らかですが、

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この赤い線は底面の円周でもあるけれども、側面(=扇形)の円周でもあるのです。

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よって、底面の半径をr、母線をm、中心角をαとすると、
2rπ = 2mπ×α/360
⇔α/360 = r/m
となり、

側面の面積は
m²π×α/360
= m²π×r/h
= rmπ
と表せます。
母線と底面の半径がわかれば、側面の面積も求められるのです!

公式にするとこうなる

以上をまとめると、母線h、底面の半径rの円錐の表面積は
r²π(底面積)+rmπ(側面積)
=rπ(r+m)
と表せます。

これが円錐の表面積を求める公式ですが、正直忘れやすいです。なので、忘れたときのために
「円錐の表面積は底面積と側面積を足したものであり、底面の円周と側面の円周は長さが同じ」
ということをきちんと覚えておきましょう!

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円錐の体積の求め方

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では次に、円錐の体積の求め方を説明します。

円錐の体積の公式

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立方体や円柱など、多くの立体の体積は底面積×高さで求められます。
この式でもr²πは底面積、hは高さを示しています。

しかし、なぜ⅓ がつくのか気になった方もいるでしょう。実は、これの説明には積分を理解していることが必要になってきます。
積分をもう習った人は次章を読んでみてください。以下の記事でも解説しています。

【微分積分】公式の意味や問題の解き方を基礎の基礎から解説!

どうして⅓ ?

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円錐を細かく輪切りにすると、輪切りにされたものは円柱としてみなすことができます。
よって、頂点からの距離がtから⊿tの間にある部分の体積は、底面をS(t)とすると、
S(t)⊿t
と表すことができます。

また、底面の半径はrt/hと表せるので、
S(t) = r²t²π/h²
ですね。

これをtで積分すると、

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よって、底面の半径がr、高さがhの円錐の体積は、⅓ r²hπと表せます。

高さの求め方

さて、円錐を求める際に必要な高さですが、これも半径と母線の長さがわかれば求めることができます。

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高さは「頂点から底面の中心に下ろした線分の長さ」です。つまり、底面と垂直に交わります。

よって、高さを表す線分、底面の半径、母線がつくる三角形は直角三角形としてみなすことができるので、三平方の定理より
m²=h²+r²
∴h = √(m²-r²)
が成り立ちます。

以上より、円錐の高さは母線と半径の長さがわかれば求められるのです!

参考:三平方の定理が一瞬で理解できる!公式・証明から計算問題まで解説

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円錐台は「切り取った立体」を想定しよう

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では最後に、応用編として円錐台について説明します。
円錐台とは、円錐を底面に平行な形で切り、頂点を含む小さな円錐を覗いた立体のこと。もとの円錐を意識することが、円錐台の問題を解く上でカギになってきます。

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平面と見なして比を考えよう

円錐台の表面積・体積を求めるための公式というものは基本的にありません。もとの円錐と、頂点を含む小さな円錐との関係で解いていく必要があります。

そこで大事になるのが「元の円錐と小さい円錐の比を取ること」です。比がわかれば必要になる数値がとれます。

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体積の求め方

では、体積を求めていきましょう。


【問題】
下の円錐台の体積を求めよ

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【解説】
基本的には、「元の円錐の体積から小さい円錐の体積を引く」方法で求めます。

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体積を求めるには、底面の半径と高さが必要なのでした。ここで三角形の比を使ってみると…

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△ADE∽△ABCより、
DE:BC = AE:AC
∴2:5 = AE : (AE+6)
∴AE = 4

三平方の定理より、
AD = √(4²-2²) = √12 = 2√3
AB = √(10²-5²) = √75 = 5√3

よって、求める円錐台の体積は、
5²π×5√3-2²π×2√3=117√3π

表面積は底面を忘れずに

では、今度は表面積を求めてみましょう。


【問題】
下の円錐台の表面積を求めよ

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【解説】
表面積も、「元の円錐から小さい円錐を引く」という点では同じです。

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底面の半径がr、母線がmの円錐の表面積はrπ(r+m)なので、

元の円錐の表面積 = 5π(5+10) = 75π
小さい円錐の表面積 = 2π(4+2) = 12π

です。
しかし、単に75π-12πを答えにするのは間違いです。なぜなら、その計算だと円錐の一番上の面

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の面積が、抜けてしまっているからです。

よって、求める答えは
[元の円錐の表面積] - [小さい円錐の表面積] + [上の面の面積]
で、
75π-12π+ 2²π = 67π
です!

最後に

ここまで、円錐と円錐台の表面積・体積の求め方を説明してきました。
紹介してきたように、円錐は「表面積は展開図で考える」「側面の円周と底面の円周は一致する」「円錐台は比が重要」などなど気をつけることがいくつかあります。
それらをきっちり理解し、円錐の問題で必ず得点できるよう練習しましょう!

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この記事を書いた人
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現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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