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剰余の定理を早大生が分かりやすく解説!証明と問題つきで理解度アップ

はじめに

剰余の定理ってどういう定理だったか、説明できますか?
因数定理との違いってなんでしたっけ?
整式の問題においては重要な定理にも関わらず、存在感が薄くて地味な故に忘れてしまいがちなのが、剰余の定理です。
あなたも剰余の定理の問題をいきなり解け!と言われたら困るんじゃないでしょうか?

でも安心してください!この記事では剰余の定理の解説、証明から実戦的な問題まで詳しく網羅して、剰余の定理についての理解を一度にまとめて深められるようになっています。
この記事を読んで剰余の定理をもう一度学んでみましょう!

剰余の定理とは

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さて剰余の定理とは一体なんでしょう?
言葉にすると、
「整式f(x)を(x-a)で割った時の余りはf(a)であり、(ax+b)で割った時の余りはf(-b/a)である」
というものです。
整式の割り算は非常に面倒くさいので、余りだけを知りたいときはこの定理を使うとだいぶ楽になります。

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例題

言葉だけの説明では分かりにくいと思うので、実際に問題を解きながら使い方を理解していきましょう。

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与えられた式をf(x)とおくと、
剰余の定理より、f(3)と余りの数字が同じです。
よってf(3)=5が成立します。
すると

9+3a-1=5

という式を解けばよく、

a=3

という答えが出ます。

剰余の定理と因数定理の違い

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剰余の定理と因数定理、この2つはよく混同されることが多いです。
それもそのはず、因数定理というのは剰余の定理において余りが「0」である場合とまったく同じことをいっているからです。
ただその示すニュアンスというのはちょっと異なり、
剰余の定理は「整式を割った時の余りは何であるか」を教えてくれる定理です。
因数定理は「整式が割り切れるための必要十分条件」です。

よって、剰余の定理の場合
整式f(x)を(x-a)で割った時の余り→f(a)
の流れは使いますが、
整式f(x)の余りがf(a)→それは整式を(x-a)で割った時の余り
の流れは使いません。

因数定理の場合
整式f(x)が(x-a)で割り切れる→f(a)=0
の流れも、
f(a)=0→整式f(x)は(x-a)で割り切れる
の流れも使います。

細かいニュアンスですが、頭の片隅に入れておくといいかもしれないです。

因数定理の詳細記事はこちら!

剰余の定理の証明

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さて、どうしてこのような定理が成り立つのか、証明をしてみましょう。
剰余の定理の証明はとても簡単です。

まず、整式f(x)を(x-a)で割った時の商をQ(x)、余りをRとします。
すると、

f(x)=(x-a)・Q(x)+R

と表せます。
ここで、f(x)にx=aを代入すると、

f(a)=0・Q(x)+R
=R

となります。
よってR=f(a)が成立し、剰余の定理が証明できました!

整式の割り算における余りの次数について

整式の割り算において、余りの次数は割る式の次数よりも小さくなります。
この事項は剰余の定理の応用問題を解いていく際に頻繁に使うことになるので、よく覚えておきましょう。
なぜ余りの次数が割る式の次数よりも低いのかといえば、もし余りの次数が割る式の次数より高かったら、まだそれ割れる可能性あるじゃん!ということになるからです。まあよく考えたら当たり前のことですよね(笑)
とにかく、
「余りの次数は割る式の次数よりも小さい」
ということは常に頭の中で意識するようにしておきましょう!

剰余の定理の問題

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問1~2次式で割る問題~

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いかにも剰余の定理が使えそうな問題ですが、ちょっとごちゃごちゃしていてわかりにくいですね。
まずは、問題条件から整式P(x)がどんな形で表せるか考えてみましょう。
P(x)を(x-4)(x+1)で割った時の商をQ(x)、余りをRとすると、

P(x)=Q(x)(x-4)(x+1)+R

と表せます。
ここで、「R」をもうちょっと具体的に表現できないかを考えます。「整式の割り算における余りの次数」で説明したように、整式を2次式で割った余りは必ず1次式か定数になります。
そのため、P(x)を"2次式"(x-4)(x+1)で割った余りは、「ax+b」と表せます。(a≠0なら1次式、a=0なら定数)
よってP(x)は、

P(x)=Q(x)(x-4)(x+1)+ax+b

と書き直せます。

後は、問題文の条件から剰余の定理を使えばOKです!

剰余の定理より
P(4)=4a+b=10
P(-1)=-a+b=5

となるので、
これらを解いて
a=1
b=6
よって答えは
x+6  です。

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問2~2次式で割る問題(応用)~

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今回は、問題文から読み取れる条件としては整式を"2次式"で割った時の余りしかない様に思えます。一見剰余の定理が使えないように見えますね。
しかし、問題文の2次式を因数分解してしまえば、あっという間に剰余の定理を使える形になります!

P(x)をx^2+4x+3で割ると余りが3x+5 

という条件は、2次式の因数分解を行うと

P(x)を(x+1)(x+3)で割ると余りが3x+5ー①

という条件に書き直せます。
同様に、

P(x)をx^2-4で割ると余りが5x+1 

という条件も、

P(x)を(x-2)(x+2)で割ると余りが5x+1ー②

という様に書き直せます。

そして、上の問題と同じように、
P(x)をx^2-x-2、つまり(x+1)(x-2)で割った商をQ(x)、余りをax+bとすると、

P(x)=Q(x)(x+1)(x-2)+ax+bー③

と表せます。
ここで、うまく剰余の定理を使うために①、②、③を見比べてみます。
すると①と③とでは(x+1)が、②と③とでは(x-2)が共通する因数になっていますね。
その為、①、③から剰余の定理より

P(-1)=-a+b=3×(-1)+5
=2

②、③から剰余の定理より

P(2)=2a+b=5×2+1
=11

と分かります。
これらを解いて
a=3
b=5
よって答えは
3x+5  です。

問3~3次式で割る問題~

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3次式が登場すると、一気に難易度が跳ね上がったかのように見えますね。
しかし焦らなくても大丈夫、一つ一つステップを追って解いていけばそう難しくはありません。
まず、いつものようにP(x)をx^3+7x^2+11x+2で割った商をQ(x)、余りをax^2+bx+cとします。
3次式は見やすいように因数分解して、(x+2)(x^2+5x+1)とします。

3次式の因数分解のやり方についてはここをクリック!

すると、

P(x)=Q(x)(x+2)(x^2+5x+1)+ax^2+bx+cー①

と表せます。
ax^2+bx+cがちょっと邪魔ですね。ここをなんとかシンプルにできないでしょうか?
そこで問題文を見てみると、P(x)をx^2+5x+1で割ると余りは3x+2という条件があります。
実際に①をx^2+5x+1で割ってみると、その余りはax^2+bx+cをx^2+5x+1で割った余りと同じ、ということに気づけるかと思います。
つまり、ax^2+bx+cをx^2+5x+1で割った商をR(x)とすると、

ax^2+bx+c=R(x)(x^2+5x+1)+3x+2

と表せるんです!
そして、これを更にシンプルにできます。商R(x)というのは、右辺と左辺を見比べて分かる通り定数です。(もし1次以上の整式ならば、左辺は2次式なのに右辺は3次以上の式になってしまいます!)
また、その定数の中でもR(x)=a とまで特定できます。なぜなら、左辺の最高次数の項の係数はaなので、右辺の最高次数の項の係数もaにならなくてはいけないからです。
すると、

ax^2+bx+c=a(x^2+5x+1)+3x+2

とまで書き直せます。
よって①は

P(x)=Q(x)(x+2)(x^2+5x+1)+a(x^2+5x+1)+3x+2ー②

とまで書き換えられます。
後は、問題文の条件「P(x)をx+2で割ると余りは11」から剰余の定理を使い、

P(-2)=a(4-10+1)-6+2
=-5a-4=11

を解いて
a=-3
つまり答えは
-3x^2-12x-1
になります。

最後に

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剰余の定理は、因数定理と混同されがちですがしっかり分けて覚えることが大事です。
応用問題については一見どうやって解いたらいいのか分からなくなることもありますが、基本的には因数分解をして、一つ一つ段階を踏んで丁寧に剰余の定理を使っていけば恐れることはありません。
剰余の定理についての知識がまたあやふやになってしまった時は、この記事に戻ってきてしっかりと定着させるようにしましょう!

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この記事を書いた人
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現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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