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正規分布とは?センター試験で使える基礎からの解説!

はじめに

センター試験の数学2Bで統計を選んだあなた。
もしかして
「正規分布ってなに?」「なんでこのデータから確率がわかるの?」
といった悩みを抱えているんじゃないですか?

統計は学校の授業で扱わないことも多くて、どうしても独学で勉強しなきゃいけない人も多いはず。そんな状態で言葉の定義やイメージが掴めないなんてことになると、非常に大変です。勉強すること自体が嫌になってしまうかもしれません。

この記事では、そんな統計に悩めるあなたへ、統計の基礎を成す「正規分布」のイメージや考え方を解説します。
センター試験にはもちろん、文系・理系を問わず大学に入ってからも役立つこと間違いないですよ!

正規分布って?

数学の授業で統計を習ったり、センター試験の問題を解いたことがある方なら誰でも一度は「正規分布」という文字を目にしたことがあるはずです。
とはいえなかなか正規分布を正しく理解できている人は少ないでしょう。

正規分布とは、「世の中の多くの現象が示す確率をシンプルに表したモデル」と言えます。
だいたいどんな確率も「平均値が一番確率が高く、平均から離れていくにつれて確率が下がっていく」ものです。
例えば日本の成人男性の平均身長は約171cmと言われていますが、173cmの人と180cmの人とではより平均に近い173cmの人の方が多いというのは誰しもが感覚的に納得いくと思います。
このように、多くの統計・確率分布はある1つの形に近くなるのです。
その形というのが何を隠そう正規分布なのです。

その数学的な意味を一枚のグラフにまとめるとこうなります。

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この式で表される確率密度関数(あるxの値になる確率を示した関数)のことを「正規分布」と呼びます。
なにやら難しい数式ですが、細かい関数の中身は覚えなくてオッケーです!
重要なのはグラフの形と、出てくる記号の意味です。

上の図からもわかるように、中心が盛り上がっていて、中心から離れていくに連れて確率は小さくなっています。
μとσという値が出てきますが、それぞれ「平均」と「標準偏差」を表しています。
①平均であるμはグラフの一番盛り上がっている部分のx座標になること
②標準偏差σが大きくなればなるほど、山の傾斜が急になること
を押さえておきましょう!

標準偏差って何?という人はこちらの記事をチェック!

標準偏差と分散とは?センター数学に役立つ統計の基礎について解説!

正規分布の表現方法

関数をよーく見ると、正規分布の式には平均=μと標準偏差=σ以外の数は変数であるxと分布によらない定数のeやπしか出てきていないことがわかります。
つまり、平均と標準偏差さえ決まれば、その正規分布が一つに定まるのです!
そこで、平均がμ、標準偏差がσの正規分布を英語表記 Normal distributionの頭文字を取って

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とします。
特に、平均0,標準偏差1の正規分布N(0,1)を「標準正規分布」と言います。
この標準正規分布、後で問題を解く時に大活躍します!

正規分布で表されるのはどんなもの?

さて、「正規分布はどんな形をしているのか」と言うものを確認してきました。
この正規分布を使って問題を解くためには、「標準化」という操作をする必要があります。

例えば入試問題ではこのような形で問題が出ます。

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平均と標準偏差しか与えられていないのに、本当にこの答えが求められるのでしょうか?
あなたがそんな疑問を持つのも無理はありません。

しかし、「正規分布に従う」という注意書きがあるだけで、この少ない情報でも割合を導くことができるのです!
グラフで表すと、求める面積は以下の水色の範囲になります。

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さて、173cmは平均170cmから3cm離れています。
そして3cmを標準偏差5cmで割ると0.6なので、173cmは平均から標準偏差0.6個分離れた値だと言うことができます。
標準正規分布N(0,1)について標準偏差0.6個分離れた場所を図示するとこうなります。

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「平均から標準偏差何個分離れているか」が一緒なので、上の2つのグラフで色がついた部分の面積は同じになります。

あとは標準正規分布のグラフの面積がわかればいいですね。
ところが標準正規分布であればこの面積というのはあらかじめわかっているのです。
それを求めるために「標準正規分布表」を使うのです。

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「標準正規分布表」の使い方

さて、標準正規分布表というのは次のものになります。

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独立行政法人大学入試センターHPより引用

これは、正規標準分布のxの値に対応した確率を表しているものです。

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行が小数点第1位まで、列が小数点第2位に対応しているので、上のグラフの赤い部分の面積は表より0.1255になります。

例として、次の3つの面積を求めてみましょう!

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正規分布の式を見れば分かる通りこの関数は偶関数なので、グラフは左右対称です。
よってプラス側を求めるときと同様に1.38を参照してグラフより0.4162 になります。

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求める面積が原点を挟んで正負に渡ったときは、負の部分と正の部分をわけて考えます。
-0.31から0の範囲では0.1217,0から0.71では0.2611なので、求める面積は0.3828です。

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確率密度関数は、グラフの全範囲の面積を足すと全事象となるので、ー∞から∞までの範囲を足すと1になります。
よって0以上の範囲では合計は0.5,0~0.85の範囲の面積が表から0.3023とわかるので、求める面積は0.5-0.3023=0.1977です。

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センター試験の問題を解いてみよう

平成27年度センター試験数学2B 第5問(2)

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独立行政法人大学入試センターHPより引用

ここまで見てきた通り、正規分布のグラフは左右対称です。
ということはP(-タ≦Z≦タ)=0.99 ⇔P(0≦Z≦タ)=0.495と言えますね。
あとは標準正規分布表から0.495となる値を探してきて、タ=2.58とわかります。

このように、正規分布の特徴と標準正規分布表の読み方がわかってさえいれば一瞬で解ける問題もセンター数学の統計分野では出題されるのです。
こんなサービス問題、ベクトルや確率ではありえませんよね。わかっている人にはそれだけオトクなのがセンター試験の統計なのです!

最後に

確率分布はイメージを掴みにくい分野なのは間違いありません。
実際に起きたわけじゃない確率を統計的なデータから推測する、というのは高校数学の範囲のなかでも抽象度が極めて高いです。
だからこそ問題を解くために必要な操作を的確に整理して覚えておくことが大切です!

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この記事を書いた人
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現役で東京大学理科2類に合格しました。 得意科目は数学と物理、化学で、理系科目を中心に執筆していますので参考にしていただけると嬉しいです。 朝活はじめました。

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