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因数定理をパパッと理解!因数の見つけ方と問題の解き方も紹介

はじめに

因数定理、どんな定理だったか覚えていますか?因数定理を使う問題、見てすぐに解けるようになっていますか?
特に高次方程式を解く際に、因数定理は必要不可欠なツールです。実戦的な入試問題でも、計算過程の一部として因数定理が組み込まれていることはよくあります。受験数学界では、因数定理を使った因数分解はできて当たり前という共通認識があるのです。

因数定理を授業では習ったはずなのにいまいち理解できていない、問題の解き方が分からない、などといった悩みを抱えるあなたのために、この記事では因数定理についてやさしく解説しています!
意外と多くの人が苦労する、因数の見つけ方についても説明していますよ!

因数定理とは

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因数定理とは、「多項式f(x)が因数として(x-a)をもつ⇔f(a)=0」が成立するという定理です。
ここで注目してほしいのは、「多項式f(x)が因数として(x-a)をもつ」と「f(a)=0」は同値であるということ、つまり「多項式f(x)が因数として(x-a)をもつ⇒f(a)=0」だけではなく、その逆の「f(a)=0⇒多項式f(x)が因数として(x-a)をもつ」も成立するということです。
必要十分条件という言葉で表現すると、『「多項式f(x)が因数として(x-a)をもつ」ことの必要十分条件は「f(a)=0」である』というのが因数定理ということになります。

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言葉だけだといまいちイメージをつかみ辛いと思うので、具体的な数式を使って因数定理を確かめてみましょう。
例えば

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という多項式を考えてみましょう。
この多項式は次のように因数分解できますね。

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よって、f(x)は因数として(x-1)と(x-3)をもつわけです。
ここで因数定理における(x-a)の「a」として、「3」を使ってみることにします。
f(x)にx=3を代入すると、

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見事にf(3)=0となりました!
よって、「f(x)が因数として(x-a)をもつ」⇒「f(a)=0」が成立することがわかったと思います。
では、その逆「f(a)=0」⇒「f(x)が因数として(x-a)をもつ」についても具体例を用いて見てみましょう。

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という多項式を考えてみます。この式は、下のようにx=−2を代入するとf(−2)=0になります。

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さて、一方でこの多項式を因数分解してみると、(x-(-2))と(x-4)を因数にもつというのがわかります。
よって、f(-2)=0のとき、f(x)は(x-(-2))を因数にもつ、つまり因数定理が成立していることが分かります!

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因数定理を使った因数分解

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さてこの因数定理、一体どんな場面で使われることになるのでしょうか?
「因数」という名前がついていることから察しがつくように、因数定理は主に「因数分解」においてその効果を発揮します。
特に高次方程式を解く際には高次式の因数分解をしなければならないのですが、これをスムーズに進めるためには因数定理は必須アイテムともいっていいです。

では、具体的にはどのように因数定理を因数分解に活用していくのでしょうか?例を挙げてみていきましょう。

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を因数分解せよ

という問題があるとします。二次式の因数分解ならたすきがけの考えを使って頭のなかでぱぱっとできますが、三次式ともなるとそうはいきませんよね。
ここで、因数定理の出番です!とにかく何か因数を見つけ出したいので、上式を

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とおき、f(x)=0となるようなxを探します。
この式では、x=1を代入するとf(x)=0になることが簡単に分かると思います。
よって因数定理から、この式は(x-1)を因数に持つことがわかりました!

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よってf(x)は上のように因数分解できて、(なんらかの式)の部分は元の式を(x-1)で割ることによって求められますね。
しかしここでただ筆算をして式を割っていくと計算量が多く大変です。よってここでは組立除法という方法を使って(何らかの式)を求めます。

組み立て除法のやり方についてはここをクリック!

すると、

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のような因数分解ができます。
ここから更に因数定理を使って(x^2-x-12)が0になるxを探してもいいですが、ここまでくれば後は二次式の因数分解なのでたすきがけの考えを使って頭の中で計算できますよね。

因数分解とたすきがけについての詳細はここをクリック!

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このように、因数定理を使うことで難しい多項式の因数分解も比較的楽にできちゃうんです!

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因数の見つけ方

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因数定理を使う時にネックとなるのが、f(a)=0となるaをどうやって見つけるのか、です。
すぐ思いつけるような簡単な式だったらいいですが、中には次数が高くてとてもすぐには「a」の数値を見つけられそうにない式もありますよね。かといって、一つ一つ当てはまりそうな数値を代入していって虱潰し的に探していくのは、あまり効率がよくありません。

実は、この因数の見つけ方にはちょっとしたコツがあるんです!
因数を見つけるために、多項式を観察する上でのポイントは、アタマ(最も次数が高い文字の係数)とオシリ(定数項)です。
なんと、オシリの約数をアタマの約数で割ったものが、求めるべき因数になっているんです!
そして実際にはアタマの数は1となっている問題が多いので、ほとんどの場合オシリの約数だけを考えればいいんです。
オシリの約数の個数なんて大体は指で数えられる程度しかないので、虱潰し方式で因数を探し当てるよりも作業量は圧倒的に削減できます。

この因数の見つけ方についてのより詳しい解説は、以下のリンク先にあるので気になる方は是非読んでみてくださいね。

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因数の簡単な見つけ方についての解説

因数定理の問題と解き方

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それでは、今学習した因数定理を使って実際に問題を解いてみましょう。

問題1

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因数定理を使う典型的な問題です。
(x-2)で割り切れるという条件から、素直に因数定理を使いましょう。与えられた式をf(x)とおいて、f(x)=0の式にx=2を代入します。
すると、

8+3×4-2t-8=0

という式が出てくるので、これをtについて解き、
t=6
という答えが出ます。

問題2

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一見因数定理が使えないようにもみえますが、落ち着いて考えれば簡単に解けます。
(x^2-x-2)を因数分解すると、(x-2)(x+1)です。
したがって、これは(x-2)と(x+1)とで、2回因数定理が使えるということです!
よって与えられた式をg(x)とでもおいて、g(x)=0の式にそれぞれx=2,x=-1を代入して連立します。
すると、

8+4a-36-b=0
-1+a+18-b=0

これらの式を解くと、a=15,b=-32
という答えが出ます!

最後に

因数定理は、高次式の因数分解をする際に非常に有用性の高い定理で、計算プロセスの一部として入試問題にはよく出てきます。
因数を見つけるのに最初は苦労すると思いますが、式のアタマとオシリに着目するという癖をつければ、そのうちぱぱっと見つけられるようになります。
大学入試数学においては必須とも言える定理なので、知識が曖昧になってきたときはこの記事を読み直して、しっかりと定着させるようにしましょう!

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この記事を書いた人
14720919
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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