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【数学1A】慶應生が分野別に解説!おすすめ問題集・参考書も紹介

はじめに

数学1Aは高校数学の基礎となる範囲で、大学入試でも基本の穴埋め問題をはじめ記述問題で難問も出題される程重要です。
1年生・2年生の時期は部活が忙しかったり、友達と遊んだりしていてつい勉強がおろそかになりがちです。授業中寝てしまったり、宿題を適当にやってしまったり…あなたもそんな経験がありませんか?
高校3年生になり受験勉強始めると、「数1Aってこんなに難しかったかな?」と感じることが多くなります。私もそのような経験があります。例えば始めのうちは1個のサイコロを1回振るだけという状況だったのに、3個のサイコロを繰り返し何回も振るような問題に出会うようになりイメージできず解けないというような経験。勉強すればするほど数学1Aが難しく感じてきました。
これまで例題や練習問題を勉強してきたにも関わらず、難しくなってきた模試では点数が上がらないという状況に陥った私は、このままの勉強法でいいのかと疑問に思うようになり、数学1Aの勉強法を模索し始めました。そこでたどり着いたのは、「難しい問題は基本的な問題の組み合わせである」という意識を持って勉強するという方法でした。
これから数学1Aの単元別に、「難しい問題は基本的な問題の組み合わせである」という意識に具体的に触れながら理解が深まる勉強法を紹介しこうと思います。

数学1Aの範囲

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数1Aは穴埋め問題・記述問題の両方で出題される範囲であり、基本かつ重要な単元ばかりです。それぞれの特色を見ていきましょう。

数と式(実数、展開と因数分解、不等式)

大きく分けて実数、展開と因数分解、不等式の3つからなる「数と式」の単元は、単体で出題されることは非常に少なく、数学の全ての範囲においての「計算」そのものです。あらゆる単元で最終的には方程式や不等式を解くことで答えが得られる場合が多く、その途中で展開や因数分解が利用されます。

二次関数(二次関数とグラフ)

「二次関数」は単体で出題されたり、他の単元の解答過程で利用されることもある重要な単元となっていて、多くは最大値・最小値を求める問題です。計算量が非常に多く、速く正確に解くことが求められます。

図形と計量(三角比)

「図形と計量」の単元では、受験数学の図形問題で大きな効果を発揮するものの1つ、三角比を学びます。入試では非常に平面図形から立体図形まで幅広く利用できる考え方を学ぶので、しっかりと理解しましょう。

データの分析、集合・論理

「データの分析」は学習指導要領が変更してから新しく追加された単元ですが、高校数学の中ではかなり簡単なものになります。数学的な用語や記号は難しいですが、内容としてはすぐに理解できるものとなっているので、数学用語や記号と考え方を確実に結びつけましょう。
「集合」の単元は、図を書くと理解しやすくなります。定理も少なく考えやすい単元となってます。「論理」も矢印を使った図が重要となりますが複雑なものが多く場合によっては問題を切り捨ててしまって構いません。集合・論理は出題される頻度は多くなく、記号での回答になります。

場合の数と確率

数学1Aで最も出題頻度が高く、難易度も様々な単元が「場合の数と確率」です。苦手な受験生も多いと思います。小問集合のうちの1つとして出題されたり、大問として出題されたり形式もかなりのパターンがあり、暗記のみでは太刀打ちできません。公式や場合分けをきっちり理解し、できる問題を増やしていきましょう。

整数の性質

「整数の性質」単元は、記述(証明)で出題されると難易度が高い場合が多い。図形や確率と異なりイメージできにくいという理由もあるが、整数自体が厳密なルールの上に成り立っているものなので、解答も厳密な記述を求められる。得意でなければ解く順番を最後に回してもいい単元です。

図形の性質(三角形、円)

受験において図形問題は多く出題されますが、記述問題で図形の性質のみを用いて(これを「幾何学的に」と呼ぶ)解けるものは少ないです。センター試験では「幾何学的な」解法を誘導される問題があり、記述問題では答えに繋がる鍵の1つとして登場することが多きなっています。忘れないように頭に入れておきましょう。

数と式(実数、展開と因数分解、不等式)

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「数と式」は大きく分けて実数、展開・因数分解、不等式の3つになります。特に展開・因数分解は方程式を解く上で欠かせません。

受験数学の計算の基本!

「数と式」は計算がメインとなり、この後に出てくる他の数学1Aの単元・数2B・数3の基礎となる大事な単元です。全ての単元は、単元ごとの考え方と計算の「組み合わせ」であるという意識を持ちましょう。

ひたすら計算をしよう!

計算は等式変形をどんどん繋いでいく作業です。速く正確に変形できるようになるには計算訓練を多く積む必要があります。
「10問5分でミスなく」など自分でルールを決めて毎日取り組むことで計算力は付いていいきます。めんどくさいことを毎日コツコツ積み上げていくことが数学でも大切です。

二次関数(二次関数とグラフ)

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数学1Aの中で最も重要な単元の1つが「二次関数」です。「二次関数」単体としてだけでなく他の問題の解答過程にも考え方を利用しますので、絶対にモノにしましょう。

最も重要なのはグラフ!

「二次関数」で最も大切なのは、状況を確実に掴むために正確なグラフを描くことです。そのためには「平方完成」ができなければなりません。
「平方完成」とは、y=ax^2+bx+cで表された二次関数の式をy=(x+d)^2+eの形に等式変形させるものです。
「平方完成」しなければならない理由を説明します。y=x^2は「二次関数」の単元の一番最初に習い、グラフを描けるようになっていると思います。y=(x+d)^2+eのグラフは、「y=x^2のグラフをx軸が正の方向に”-”dだけ、y軸が正の方向にeだけ平行移動させたもの」になるのです。つまり、y=ax^2+bx+cの形では描けなかったグラフがy=(x+d)^2+eの形だと描けるようになるのです。「平方完成」を行う理由は、グラフを書くためです。
グラフが描ければ問題文から得られる情報を全て書き込み、「可視化」することで解き方がわかってきます。
「可視化」のついては、「二次関数」だけでなく様々な単元で効果を発揮するので問題文から得られる情報は全てメモとして書き出しましょう。

最大・最小問題

「二次関数」を直接的に出題する場合も、他の単元で「二次関数」の考え方を利用する(他の単元と二次関数の組み合わせ)場合でも、求めるものはxの範囲(定義域)が与えられた場合の関数の最大値・最小値になります。また逆の場合もあり関数の最大値・最小値が与えられた場合の定義域を求めることもあります。
なぜ関数の最大値・最小値を求める問題が多いかというと、xの定義域によって最大値・最小値の値が変わってくるため場合分けが生じるからです。場合分けできる力があるかを試されているのです。
この場合分けを確実にするために必要なのがグラフです。グラフのx軸に定義域を書き込み、その定義域に含まれる関数のグラフを濃く塗ったりギザギザで印をつけてわかりやすくします。印をつけたグラフの中で最も高い部分が最大値、最も低い位置が最小値となり、目で見てすぐに分かるようになります。
場合分けが必要な問題では定義域に文字が含まれている時になります。例えばa≦x≦a+4の場合であれば、xの幅が4の定義域を考えていきます。どこで最大値・最小値が変わるかをグラフで考えて場合分けしていくと分かりやすくなります。

二次方程式・二次不等式との繋がり

「二次関数」は「二次方程式・二次不等式」と大きく関わりがあります。
例えば二次方程式ax^2+bx+c=5であれば、y=ax^2+bx+cの曲線とy=5の直線の交点が二次方程式の解になります。二次方程式の解の個数をグラフで判断しながら場合分けをしていく問題などが出題されます。
グラフと式の関係を実際にグラフを描いてみて理解しましょう。

図形と計量(三角比)

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「三角比」は数2Bの「三角関数」を理解するためにも、図形問題を解くためにも重要です。

三角比と単位円

「三角比」は、単位円を描くことで、角度と座標(x,y)の対応が分かりやすくなります。分かりきっているときでも単位円を描く癖をつけましょう。
30°・45°・60°・90°のSin・Cos・Tanは直角三角形の図を描いて理解した上で完璧に覚え、単位円と組み合わせることで他の角度も求められるようにすると「三角比」が分かり始めます。

三角方程式・三角不等式

「三角方程式・三角不等式」は単位円を描いて考えることで、「二次関数と二次方程式・二次不等式」の関係と似たように視覚的に考えることができるようになります。しっかりと図に書き込んで「可視化」することで理解していくと分かり始めます。最終的には計算に落ち着くので、「数と式」との組み合わせにもなります。

正弦定理・余弦定理

「正弦定理・余弦定理」は図形問題を解く上で非常に重要な公式になります。最終的には二次方程式を解く公式になるので「数と式」の単元で学んだ因数分解が大切になってきます。三角方程式を解く場合も出てきますが、その場合には単位円を描いて答えを求めましょう。
三角関数と図形が組み合わさった場合にはほぼ必ずと言っていいほど出てくる公式なので必ず図を描いて「どの角と辺が関わっているのか」のイメージを持ちながら覚えてください。

データの分析、集合・論理

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「データの分析、集合・論理」の単元は記述試験ではあまり出題されておらず、重要視されていないものの小問集合で出題される場合があります。

データの分析

使われる数学用語は難しいものが多いが内容・考え方は容易であるため、用語を理解しながら計算すると理解が深まります。

集合・論理

「集合」の問題では、必ずベン図を描いて考えましょう。「可視化」することで答えを導きやすくなります。公式も少ないので使える場面と公式をセットで覚えましょう。
論理の問題、特に「十分条件・必要条件」は整数関連のものが多く、かなり難しいものとなっているので長時間悩むよりは切り捨てて別の問題に行きましょう。勉強するときには解説を読んで何故そうなるのかを理解し納得することが大切です。

場合の数と確率

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数学1Aで「二次関数」と並ぶくらいに大切な単元が「場合の数と確率」です。
数Bの「数列」との組み合わせが多く、計算量が多いこともあります。

場合の数

「場合の数」は漏れなく場合分けできる力が求められます。「可視化」が大きな効果を発揮するため、最初はカードの絵や樹形図、表などを全通り描いて自分なりの場合分けの基準を見つけましょう。また、間違えた時にはどの場合分けを忘れたのかを必ず復習してください。
自分なりの場合分けの基準を見つけ、復習することで精度を上げていくことが大切になります。
また問題になる状況は「二次関数」や「整数問題」と異なり想像しやすいものが多いため、頭でイメージして取り組むことで理解しやすくなります。

確率

「確率」の場合は、並べ方や選び方の公式を用いて、全事象と条件を満たす事象の場合の数を確実に計算することが大切になってきます。ここで気を付けることは、具体的なイメージを浮かべながら並べ方や選び方の公式を用いるということです。
例えば、1,2,3,4の4つの数字から2つ選んで並び替える方法は、4P2=4×3=12(通り)となります。この考え方の一つの例として「1~4を並び替えて二桁の数字を作る。十の位には1~4のどれか(4通り)、一の位には十の位に使われていない3つの数字のどれか(3通り)を使うため、4×3=12(通り)になる」というものが挙げられます。
1,2,3,4の4つの数字から2つの組み合わせを選ぶ方法は、4C2=6通りになります。この場合は「まず1~4を並び替えて二桁の数字を作る(4P2 通り)が、組み合わせなので並び替えてはいけないので並び替え方(2!通り)で割り算すため、4C2=4P2/2!=12/2=6(通り)」と考えると分かりやすくなります。
具体的イメージを持つことで確率を求める時の考え方や流れが浮かぶようになってきます。
最終的には「考え方」と「計算」の組み合わせですね。

整数の性質

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「整数の性質」に関する問題、特に証明問題は厳密な論理展開が必要とされるのでとても難しい問題になることが多いです。証明問題を解ききるには、数学用語の定義を確実に理解し、言葉にして書き出す力が必要です。数学用語の定義は教科書が最も丁寧に書いてくれているので教科書で勉強しましょう。
証明問題以外では素因数分解・平方根と自然数・最大公約数・最小公倍数などが多く出題されます。素因数分解・平方根と自然数は中学校で習う内容、最大公倍数・最小公倍数は小学校で習う内容なので、考えやすい内容です。何度か例題を解いてみると感覚がつかめるはずです。
解答がわからない時は自分で解答を書きながら考えて見ると分かることがあります。すぐに投げ出すのではなく、先生に質問しに行ったり何度も読んでみたりという忍耐力が鍵になります。数学はセンスではなく忍耐力の勝負です。

図形の性質(三角形、円)

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受験数学では、図形問題へのアプローチの仕方は数多く存在します。数2Bの最重要単元の1つ「ベクトル」や、前述した「三角比」でも問題を解くことができます。
「図形の性質」は、「ベクトル」や「三角比」で問題を解いていく時の隠れた条件や前提になることが多くなります。「可視化」としての図を問題文通りに描いたり、答えにたどり着くための小さなヒントになることがあるので、出てくる定理や公式を自分で図を描くことで理解し覚えてましょう。
図形問題では、自分で図を描いて「可視化」することが非常に大切です。

私が使っていた問題集・参考書

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数学1Aの基本を理解するために使っていた問題集・参考書を紹介します。

センター試験過去問研究数学1A/2B(教学社)(赤本)

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参考書名
赤本602 センター試験過去問研究 数学1・A/2・B
著者
ページ
1472ページ
出版社
教学社
Btn amazon
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この25年間、およそ1000万人以上の受験生の気持ちがギュッと詰まった決定版 #赤本602 センター試験過去問研究 数学1・A/2・B #教学社

レビューをもっと見る

まず入試まであまり時間がない人は、センター試験の過去問をひたすら解くという勉強方法をおすすめします。
ある程度の誘導がついていますし、何より基本的かつ質の高い問題が多いのが理由です。
センター試験の過去問で演習し、答えを読んでも分からなければ基本的な参考書で公式や基礎事項を参考書で確認する方法です。最初は全く解けないかもしれませんが、数年分演習し解答解説に載っている考え方や解き方を確実にものにしていくと、ある程度の感覚が掴めてきます。
大切なのは、センター試験の過去問を用いて「復習」し、2回目に挑戦するときには解けるようにしておくことです。
「復習」で得られる情報が多いので、過去問を勉強することは効率が良いと言われます。

チャート式解法と演習数学1+A

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参考書名
新課程チャート式解法と演習数学1+A
著者
チャート研究所
ページ
0ページ
出版社
数研出版
Btn amazon
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私は数学がとても苦手な文系女子なのですが、この教材は解説も詳しく掲載しており、理解しやすいです。 授業の内容を理解した上でこちらを使うと、解き方が定着すると思います。

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例題は基本から発展まで  あらゆるところをカバー 解説は詳しいし これを発展部分まで極めたら 正直東大だって目指せるんじゃないかと思う でも自分には1冊だけで手一杯なのに ⅡBとあわせると 例題だけでも多くて辛かった いつかどっちかだけ忘れてる... いまでは見るのだけでも嫌になってしまったがやはり最高の教材には違いない 自分はⅠAⅡBどちらもカバーした 簡単な一冊を極めたほうが 良いタイプでした これから受験する方は これで勉強していくのは大賛成だけど 自分でやりきっていけるか しっかりはじめのうちに 考えてみてください by無理とわかっていながらも続けてしまったアホより

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高3です。進研模試の偏差値が40です。。。自分は文系でセンターでしか使わないのですが、これでいいですよね? いつ頃までに終わらすべき、1日どれくらいなどアドバイスお願いします。

レビューをもっと見る

基本事項からセンターレベルまで幅広く網羅したい人におすすめの参考書が、チャート式です。本番まで時間がある人はこの参考書を一周してみてください。
解答解説が非常に充実しているため、答えに至る考え方や解き進め方をしっかりと理解できます。
センター試験の過去問を解いている時に分からない箇所があれば、チャート式の参考書で調べるといいです。

紹介した過去問題集・参考書は1冊ずつですが、多くの過去問題集・参考書をこなすよりも1冊を何度もやり直すほうが効率が良い勉強法です。

最後に

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数学1Aは、数学2Bや数学3の基礎となる考え方や計算ばかりです。
特に「二次関数」・「場合の数・確率」・「三角比」は単体でも他の単元との組み合わせでも出題されます。「可視化」を用いて考え方をしっかりと身に着けていきましょう。
また、受験が近づいてくると1問にかけられる時間も少なくなってくるので、解答を読んでも分からない場合は先生や友人に質問することも大切です。何度も質問しているうちに仲良くなってくるので質問しに会いに行くことがどんどん楽しくなって勉強もはかどります。
各単元の「考え方」と「計算力」を組み合わせて問題を解くというイメージを持って数学に取り組んでみてください。

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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