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標準偏差と分散とは?センター数学に役立つ統計の基礎について解説!

はじめに

センター数学2Bが苦手なあなたに朗報です!
難しいベクトル・数列の内のどちらかを解かなくてもいい裏技があるって知っていましたか?

それは、「統計分野」を選択することです。
難しい言葉や知らない言葉が出てきて、なんとなく敬遠してしまいがちな統計ですが、実は用語の意味さえ正確に理解していたらかなり解きやすい単元なのです。
それこそ確実に満点を取れるようになるのも夢ではありません。

今回の記事ではそんな「センター試験の裏技」とも呼べる統計の中でも、最初に多くの人が躓いてしまいやすい標準偏差と分散について解説します!

標準偏差と分散って?平均との関係は

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さて、「標準偏差」と「分散」。この2つの言葉を聞いたことがある人は多いかと思います。
これらは「数値の散らばっている度合い」を表している言葉です。
そうは言ってもよくわからないでしょうから、具体例を見てみましょう。
ここに、平均が5になる5つの数字があります。
A「2,4,6,6,7」B「1,3,5,8,8」
これらの5つの数字群はどちらがより散らばっているでしょうか?
なんとなくAよりBの方が数字の散らばりが大きい気がします。しかし、本当にそうかどうかはわかりません。
それを確かめるためには、「分散」を計算すればいいのです。

「分散」=「値と平均との差の2乗の平均」

分散は、各値の平均との差を2乗したものを平均した値です。
A,Bそれぞれについて計算してみましょう。

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よって、Aの分散よりもBの分散のほうが大きいことがわかりました。
これはつまり、数学的に見てAよりもBの方が数字が散らばっているということです。

標準偏差は単位が同じ=足し引き可能!

さて、このようにA,Bという数字の集合のどちらが散らばっているかということは分散を用いて確かめることが出来ます。
しかし、実はこの分散という値には一つ大きな欠点があるのです。
それは「2乗する際に単位まで2乗してしまう」ということです。

例えばAの数字が表しているのが「ある店に平日各曜日に来店した人数」だとします。そうすると単位は「人」ですね
しかし分散を求める過程で2乗してしまっているので分散の単位は人^2というなんとも変なものになってしまいます。
単位が違うので分散と平均を足したり引いたりすることはできません。
この問題を解決するために登場するのが標準偏差です。
標準偏差は分散の√で求められます。単位が元の値と同じなので、足し算引き算が意味を持ちます。
試しにAの中の2人という値が平均からどれくらい離れているかということも標準偏差を求めることでわかるのです。

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どうして2乗するの?

さて、「散らばり具合」を図るのになぜ2乗するのでしょうか?
それは2乗することによって「差の絶対値を無視することができる」ためです。
例えばAの「2,4,6,6,7」というデータにおいて、4と6はそれぞれ平均から-1と+1した数字なので、平均からの散らばり度合いとしては一緒です。
しかしその差をそのまま足すと(-1)+1=0で、互いに打ち消し合ってしまうのです。
ところが(-1)と1を2乗するとどちらも正の値となり、足して意味がある数字にすることができます。
数字を2乗するという単純な操作で符号を正に揃えることができるのです。

このように、ある値からの差を評価するために2乗して考えることは、分散や標準偏差以外の場面でもよく出てきます。
(絶対値を考えようと思ったら正と負で場合分けが必要だけど、2乗の場合は全て同じ操作でいいから)
余裕がある人は、この考え方を頭の片隅においておきましょう!

分散の計算方法

さて、分散と標準偏差のイメージが掴めたところで、分散の求め方を細かく見ていきましょう。
分散の平方根が標準偏差ですから、分散と平方根は一対一で対応します。
つまり分散を求める≒標準偏差を求めるということです。
2倍重要な公式だと思って分散の求め方を見てみましょう。

定義に則った計算方法

まずは定義通りの計算方法を紹介します。
分散は「データの各値と、その平均との差を2乗した値の平均」です。
なのでx1~xnまでn個のデータの平均をμとすると、その分散V(X)は

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と計算できます。
Σ記号を使っているのでスッキリと表現できました。
しかし、見た目と裏腹にnが大きい時もいちいち一個ずつ計算しなければいけないので、とても煩雑な計算になってしまうことがあります。
そんな悩みを解決するための公式があるのです。

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分散を求める便利な方法「2乗の平均」から「平均の2乗」を引く!

各データの平均をE(X)で表すとき、

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となります。
この式は、
「与えられたデータを2乗したものの平均から、与えられたデータの平均の2乗を引くことで分散が求まる」
というものです。
ためしに最初に見たA「2,4,6,6,7」の分散を求めてみましょう。上で計算したとおりこの分散は3.2、平均は5でしたね。
Aのそれぞれのデータを2乗すると
「4,16,36,36,49」ですね。その平均は28.2と求まります。
28.2-25=3.2
より、分散が正しく求まりました。

公式の証明

この公式は、定義の式の()を展開して計算することで求まります。
以下のように計算を進めていきましょう。

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この公式を使うと、平均を引いてから2乗しなければいけなかったところを、最後にまとめて1回引き算するだけでよくなります。
n数が増えたときや、データの値が簡単に2乗できそうな数値のときはこちらを使ってすばやく求めましょう

センター試験の統計問題を解いてみよう

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それでは、実際の入試問題で標準偏差や分散を求める場面はあるのかということを見てみましょう。

平成26年度センター試験数学2B 第5問

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独立行政法人大学入試センターHPより引用

さて、問題を見ると分散がそのものズバリ問われていることがわかりますね。
平均Aは19×9から各値を引いて14とわかります。
あとは分散の計算方法に則って分散を求めていきましょう。

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このように、分散の定義と計算方法を知っているだけで確実に解ける問題が出題されるのが数学2Bの統計の特徴です。
このあとに続くのも、言葉の定義さえ知っていれば解ける問題が続きます。

勉強さえすれば得点が伸ばせそうな気がしてきませんか?

最後に

標準偏差と分散の定義とその求め方を解説してきました。
センター試験の問題からも分かる通り、実はかなり解きやすいのが統計分野です。

この記事があなたのセンター数学の得点を伸ばす切り札となったらうれしいです!

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この記事を書いた人
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現役で東京大学理科2類に合格しました。いまは教養学部後期課程の4年生です。 得意科目は数学と化学、物理で、理系科目を中心に執筆していますので参考にしていただけると嬉しいです。 最近クロスバイクにハマりました。

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