16707934

【対数関数】グラフと公式は完璧!?基本的な対数計算から詳しく解説!

はじめに

センター試験や国公立大学の二次試験、私立大学の試験でも頻出の範囲である数学2。
あなたは、数学2の内容を確実に理解できていますか??
私が現在通っている慶應義塾大学の入試でも、数学2を扱う問題は何度も出題されてきました。

今回の記事では、そんな数学2の中でも表記方法がかなり特殊な対数関数に焦点を当ててみましょう。
対数関数の単元では、logや底などの難しそうな見た目をした文字が多く出てきます。

ですが、怯えることはありません。
あなたは、教えてもらいながら自分の手で計算して数学の問題を解いてみると、「何だこんな簡単なことだったのか」と思うことはありませんか?
対数関数でも同じことが体験できます。

本記事で対数の基本を解説した上で、対数関数のグラフの書き方や典型的な対数関数の問題の解き方も解説しています。

この記事を読んで、対数と対数関数の基礎を完璧にしましょう!

対数関数とは?

14712182

対数関数とは?

対数関数とは、

16687324

と表される式のことを言います。(定義)

右辺の

16687339

は、「aを何乗すればxになるか」を表しており、対数と呼ばれます。

このことから

16687364

という表し方もあります。
「aを何乗すればxになるか」表した数字でaを累乗しています。


そしてaを「底」、xを「真数」と呼びます。
「真数」xは必ず正です。
これを真数条件と言います。

「対数関数」とは、右辺が「対数」になっている「関数」のことです。

【例題】

16687414

左辺は「5を何乗すれば25になるか」を表しているので、右辺は2になります。

16687429

は「5を何乗すれば26になるか」を表していますが、私達が有限の数字に表記し直すことができないので、これ以上式変形できません。
具体的な数字として表せない場合に対数で表記します。


ここからは、なぜ真数条件が成立するかを説明します。
興味のない方、難しいものを見たくない方は飛ばして【重要】を見てください。



真数条件を説明するためには、
指数と対数の関係を知る必要があります。

ここで、指数関数

を考えます。aが正なのでyはxの値に関係なく正です。

aをx乗すればyになるので、対数の考え方をすると、

16687534

と表すことができます。(ここがとても難しいのでじっくり考えて理解してください。)

xとyが入れ替わっています。
ここでは、「指数と対数の関係は、なんとなく逆のものを表しているんだ」くらいに捉えてください。

なぜ真数が正になるか、でしたね。
最初に指数関数を考えたときにyはxの値にかかわらず正でした。
対数の考え方をすると、そのyが真数の場所に来るので、真数は正になります。

【まとめ】

・対数関数とは、

16687587

と表される式のこと

・対数関数の「底」とは、aのこと

・aは正の実数で、a≠1

・(ⅰ)式において真数条件x>0

対数計算で注意すべき3つのこと

対数計算や対数の問題では必ず以下の3つのことに注意してください。

・対数の【真数条件】(真数)>0、(底)>0、(底)≠1を確認すること

・0<(底)<1のときと(底)>1のときでは真数の大小と対数の大小の対応が逆転すること
・底を統一しないと計算できない



言葉での説明は難しいので、順番にかんたんな説明を見ていきましょう。

・対数の【真数条件】(真数)>0、【底の条件】(底)>0、(底)≠1を確認すること

真数条件と底の条件については先程説明しました。
基本的な前提条件ではあるのですが、大学入試問題の記述式の試験などで条件として答案に書くことを忘れてしまう人が多くなっています。
必ず答案に【真数条件】と【底の条件】を書きましょう。

・0<(底)<1のときと(底)>1のときでは真数の大小と対数の大小の対応が逆転すること

【(底)>1のとき】
大小関係が

16687996

になります。

左端の式は「5を何乗すれば25になるか」
真ん中の式は「5を何乗すれば28になるか」
右端の式は「5を何乗すれば125になるか」
を表しています。

真数が大きいほど対数が大きくなっています。つまり真数の大小と対数の大小が対応しているという言い方ができます。

【0<(底)<1のとき】
底を累乗する数が増えれば増えるほど数字は小さくなり、小さければ小さいほど(負になればなるほど)大きくなります。

16688053

で考えてみましょう。

16688192

と考えると、

16688248

と式変形できるので

16688287

のように求めることができます。

つまり大小関係は

16688357

のようになります。

(底)>1の時と同じ数値を用いると

16688680

と求められます。

・底を統一しないと計算できない

対数計算では、底を揃えることが最も重要になります。
分数計算で言う分母を揃えるみたいなものです。

底を揃えるためには、底の変換公式を使います。
必ず覚えてください。

【底の変換公式】

16689566

この公式で底をcという別の数字に統一できます。
底の数字が下に来ます。
底という漢字を使っているので下に来ると覚えていました。

最初は公式を見ながらでいいので、自分で実際に計算してみましょう。

【例題】

16689695

16690515

【まとめ】

どんなに複雑そうな対数の問題でも、

・対数の【真数条件】(真数)>0、(底)>0、(底)≠1を確認すること

・0<(底)<1のときと(底)>1のときでは対数の大小関係は逆転すること

・計算の一番最初で

16690642

を用いて底を統一すること

の3つを確実に行いましょう!

対数計算の2つのコツ

対数計算のコツは

(ⅰ)底の変換公式を使って底を統一する
(ⅱ)対数の性質を用いて1つの対数とするか、和差の形に分ける

の2つあります。

(ⅰ)底の変換公式を使って底を統一する

16690713

を使って底を揃えます。
底が同じでないと次の対数の性質が使えません。

(ⅱ)対数の性質を用いて1つの対数にまとめるか、和差の形に書き直すか

よく使う対数の性質を3つ紹介します。

16691043

16691013

16691082

また、当たり前だけど戸惑ってしまう式変形に

16691192

などがあります。

実際に計算して対数計算のコツを身につけましょう。

16691434

16691559

【まとめ】

・まずは

16691580

を用いて、底を統一させる

・対数の性質

16691590

16691593

16691596

を用いて式変形してまとめる。

対数関数のグラフを知ろう!

15182796

対数関数のグラフ

対数関数のグラフは、底の大きさによって形が変わります。

(底)>1、0<(底)<1の場合についてグラフを見ていきましょう!

(底)>1の場合

16705176

0<(底)<1の場合

16705177

(底)>1のとき単調増加、0<(底)<1のときは単調減少になってますね。

また、どちらの場合も(1,0)を通ってます。

指数関数と対数関数のグラフの関係を掴む!

指数関数と対数関数の関係も、底の大きさで場合分けしてみてみましょう!

(底)>1の場合

16705182

0<(底)<1の場合

16705188

どちらの場合も、指数関数と対数関数はy=xに対して対称で、指数関数はx軸が漸近線、対数関数はy軸が漸近線になっています。

0<(底)<1の場合は、指数関数と対数関数、y=xが一点で交わっています。

Studyplus slogo@2x
学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
Pc@2x

対数関数の微分・積分の公式紹介!

15182668

【対数関数の微分形】

対数関数の微分の公式は1つしかありませんが、底がネイピア数出ない場合・絶対値がついた場合・合成関数の微分になる場合があるので、それぞれ公式として紹介しています。

対数関数の微分公式

16705197

底がネイピア数の場合の対数関数の微分公式

16705195

絶対値のついた真数を持つ対数関数の微分公式

16705202

真数部分に関数が入った対数関数の微分公式

16705205

【対数関数の積分形】

16705892

対数関数の不定積分の証明にはよく部分積分法が用いられます。

部分積分については、下の記事に詳しく書いているので、ぜひ読んでみてください!

↓↓↓↓↓↓↓↓

部分積分】公式や計算のコツを詳しく解説!~部分積分法はこれで完璧~

上に書いてある公式は、底がネイピア数の場合の公式になっています。

底がネイピア数以外の正の実数のときにはどうすれば…

?!!!

ここで底の変換公式です!
底の変換公式を用いて、底をネイピア数に変えてやりましょう!

【例題】底が3の対数関数を積分するとき

16706040

16706067

と、式変形することで公式を使うだけで積分できるようになります!

対数関数の応用問題を解く!!!

対数方程式

対数方程式では、解き始める前にまず

・真数条件、底の条件を確認する
・底を統一する

の2つを徹底してください。
真数条件とは、「(真数>0)」のことです。
底の条件とは、「(底)>0、(底)≠1」のことです。

対数不等式の場合も対数方程式と同じ解き方で解けますが、
真数条件と底の条件も不等式で表されているため、xの範囲の確認に注意を払いましょう。

【パターン①】

16706229

の形に式変形して

16706239

の方程式を解く

【パターン②】

16706262

と置くことで簡単な方程式にして解く

方法があります。

【例題】

16706684

真数条件より、x>0
底の条件よりx≠1、x>0

底の変換公式より

16706495

16706491

16706602

真数条件と底の条件を満たしているので、答えはx=2


置き換えを用いることで、誰でも解けるような二次方程式の問題になりましたね。

この工夫は次の対数不等式でも用います!

対数不等式

対数不等式では、解き始める前にまず

・真数条件、底の条件を確認する
・底を統一する

の2つを徹底してください。
真数条件とは、「(真数>0)」のことです。
底の条件とは、「(底)>0、(底)≠1」のことです。

【例題】

16706820

真数条件より、x>0
底の条件よりx≠1、x>0

底の変換公式より

16706979

16707119

16707123

これを、真数条件・底の条件と組み合わせて、

0<x<0.5、8<x

となります。

簡単にですが、対数関数を用いた問題を見てきました。
しかし、これで対数関数の問題を全て網羅したわけではありませんし、もっと難しい問題もたくさんあります。

自分で多くの問題を解くことで、数学はできるようになっていきます。
あなたが持っている問題集や参考書で対数関数の問題を自分で解いてみてください。

大学入試問題における対数関数

14641456

センター試験にみる対数関数

平成28年度本試験数学2Bの第1問に対数の式変形、グラフ、対数関数の最大値・最小値問題が出題されていました。
センター試験は誘導がついているので問題自体は難しくありません。実際に解いてみてください。

平成26年度の問題では対数不等式の問題が出題されています。

16707190

16707194

大学入試センターホームページ−平成28年度本試験の問題

16707220

16707224

大学入試センターホームページ−平成26年度本試験の問題

二次試験にみる対数関数

平成27年度の東京大学入試問題第3問に指数関数・対数関数の問題が出ています。

16707253

東京大学ホームページ−平成27年度第2次学力試験試験問題

二次試験や数学の記述試験では、実際は対数関数単体という問題は少なく、他の単元との融合問題で出題されることが多いです。

しかし、融合問題を解くには各単元の基礎がわかっていないと話になりません。

まずは確実にすべての単元の基礎を固めていきましょう!

最後に

15377002

今回の記事では
・対数関数とは何か
・対数関数のグラフ
・対数関数の微分積分の公式
・対数関数の例題
・センター試験、二次試験における対数関数
について見てきました。
ですが、対数関数全てを網羅しているわけではありません。
まずは本記事で対数関数の基本的なイメージを掴んでもらい、苦手意識を無くすことで応用問題に自分の手で挑んでほしいと思っています。

Studyplus slogo@2x
学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
Pc@2x
この記事を書いた人
14720526
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

関連するカテゴリの人気記事

14930700?w=120

【文系大学受験】数学問題集おすすめ一覧〜センターから東大受験まで〜

14926323?w=120

数学3(数三)の勉強法!合格のための勉強の進め方とオススメ参考書!

15622206?w=120

因数分解とは?因数分解の公式と解き方を慶應生が教えます!【問題付き】

14702207?w=120

【大学受験 数学勉強法】理系の苦手を潰す!問題集・参考書の選び方も解説

15702659?w=120

東大生が教える連立方程式の解き方〜中学数学からセンターまで〜

16020625?w=120

三平方の定理が一瞬で理解できる!公式・証明から計算問題まで解説

関連するキーワード

スマホアプリで
学習管理をもっと便利に
Foot bt appstore
Foot bt googleplay