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【中学数学】中点連結定理の証明と問題!台形にも使える便利な定理!?

はじめに

あなたは中点連結定理をちゃんと使いこなせますか?中点連結定理は三角形だけではなく、台形にも使えるって知ってました?

中学数学の図形分野の中でも有名な定理が,この中点連結定理です。これをしっかり理解していないと、高校入試の図形問題で高得点を獲得するのは難しくなるでしょう。

しかし心配しなくても大丈夫!この記事では中点連結定理がいまいちよくわからない…というあなたのために、基礎から証明までわかりやすく解説しています!
軽い計算問題や、実際の入試問題における使われ方も載せているので、実戦に役立つこと間違いなしです。

中点連結定理とは?

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中点連結定理とは、三角形のある2辺の中点を結んでできた線分は、残りの1辺に平行であり、長さはその半分であるという定理です。

図で説明すると、下の三角形ABCにおいてAB,ACの中点をそれぞれM,Nとすると

MN//BC
MN=1/2BC

が成立します。

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中点連結定理の証明

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では、なぜこのような中点連結定理が成立するのか証明してみましょう!
中点連結定理の証明の軸は「平行四辺形の性質」です。もし平行四辺形の知識をだいぶ忘れているようなら、この機会に復習をしておきましょう。

まず、下図のようにMNを延長し、MN=MDとなる点Dをとります。
そして点Dと点A、Cを結び、さらに点Mを点Cと結んで、四角形をつくります。

ここでできた四角形ADCMの対角線に着目すると、AN=NC、MN=NDより対角線がそれぞれの中点で交わっているので、
四角形ADCMは平行四辺形ということがわかります。

よって、平行四辺形の性質「向かい合う辺は平行かつ等しい」より

AM=DC
AM // DC

がわかります。
また、AM=MBなので、

DC=MB
DC // MB 

となり、向かい合う辺が平行かつ等しいので四角形MBCDも平行四辺形ということがわかります。
よって平行四辺形の性質より

MD=BC
MD // BC

がわかります。
ここでMN=1/2MDだから、

MN=1/2BC
MN // BC

が示されました。

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台形の中点連結定理

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中点連結定理は三角形にしか使えない…、そう考えている人も多いかもしれません。
しかし!なんと便利なことに中点連結定理は「台形」にも使えちゃうんです!三角形だけではなく四角形にも使えるなんて、一気に活用の幅が広がりますよね。

さて台形の中点連結定理ですが、基本的には三角形の中点連結定理と似ています。2辺の中点を結んでできた線分が、残りの2辺と平行になる、というところまでは同じです。ちょっと違うのは、そうやってできた線分の長さが、「上底と下底の長さの和の半分」に等しい、というところです。

ちょっとわかりにくいので図で見てみましょう。下の台形ABCDにおいてAB,DCの中点をそれぞれM,Nとすると

MN//BC
MN=1/2(AD+BC)

が成立します。

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台形の中点連結定理の証明

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それでは、台形の中点連結定理がなぜ成立するのか証明をしていきましょう。
この証明の軸は、「三角形の合同」です。そもそも合同ってなんだっけ?というような人はしっかり復習をしておきましょう!

まず、下図のようにANとBCを延長し、その交点をLとします。
△ADNと△LCNを見てみると、

NはDCの中点より
ND=NCー①

また、対頂角より
∠DNA=∠CNLー②

台形の性質からAD//BCなので、錯角より
∠DAN=∠CLNー③

の3つがわかります。
よって①〜③より1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ADN≡△LCNとなります。
よってAN=NLが分かります。

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ここまでできてしまえば、後は三角形の中点連結定理を△ABLに当てはめるだけです。

中点連結定理より

MN//BLー①
MN=1/2BLー②

が分かります。

①より、MN//BCは自明です。

②ですが、
BL=BC+CL
で、
△ADN≡△LCNより
CL=DA
なので、

MN=1/2(AD+BC)

と分かります。

こうして、

MN//BC
MN=1/2(AD+BC)

が示されました。

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中点連結定理の問題

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それでは実際に中点連結定理を使った計算問題を解いてみましょう。
答えは「最後に」の後ろの方に載せておきました!

問題1

下図のような
AB=54
BC=78
CA=60
の三角形ABCがある。
点P,Q,RをAB, BC, CAのそれぞれの中点とするとき、
PQ,QR,RPの長さを求めよ。

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問題2

AD=6
BC=8
の台形ABCDがある。
点M,NをAB,DCのそれぞれの中点とするとき、
MNの長さを求めよ。

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高校入試に見る中点連結定理

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さて、実際の高校入試の問題で中点連結定理を使う機会はあるのでしょうか?
結論をいうと、わりかし頻繁にあります。図形問題のセクションでは中点連結定理が解法の一部に組み込まれている問題がよく出てきます。

それでは、平成28年度に実際に出題された問題を例にして、入試問題における中点連結定理の使われ方を見てみましょう。

平成28年度都立入試問題 数学

この年の入試では、大問5の問2において中点連結定理を使う問題が出題されています。

立体Q-BPNMの体積は、立体ABC-DEFの体積から、立体Q-BPNMの周りの3つの立体、Q-DNM、Q-ABC、BME-CNFの体積の和を引くことによって求まります。
そのうちの2つ、立体Q-DNM、BME-CNFの体積を求める過程で、中点連結定理は登場します。
どちらの体積を求めるのにも必要なMNの長さ、これを中点連結定理を使って求めるのです!


このように、実際の問題に中点連結定理が出てくるのはほんの一部かもしれませんが、これがなかったらこの問題を完答することは絶対にできません。入試問題を解く上で、小さいけれど重要なワンピースとして中点連結定理は登場するんですね。

最後に

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中点連結定理は、三角形にも台形にも使える便利な定理です。「平行」と「長さ半分」を中点連結定理のキーワードとして頭に入れておきましょう。
また、中点連結定理の証明においては、中学数学の図形分野で出てくる他の知識、「平行四辺形の性質」や「三角形の合同」を使う必要があります。もし知識の抜け漏れがあるようなら、そこも含めて復習し直しましょう!

実際の入試問題では解答の一部としてしか中点連結定理は登場しませんが、中点連結定理で躓くと他の部分や考え方はあっていても完答ができない、という勿体無い状況に陥る可能性が高いです。極めて重要な道具として、中点連結定理を使いこなせるようにしておきましょう!

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この記事を書いた人
14720919
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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