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等比数列の和の公式の証明や一般項の求め方を解説!応用問題つき

はじめに

一見複雑そうな等比数列。
分数や文字がたくさん出てくるし、計算ミスはしやすいしと、苦手意識を持っているかもしれません。

ですが、実際等比数列は、大学受験レベルなら問題のバリエーションもそこまで多くないのです。図形問題のようにひらめきを必要とするというよりも、「与えられた情報をいかに整理して使うか」を大事とする単元です。なので、基本をきちんと理解し、量をこなせば確実に成績は上がります。

この記事では、等比数列の一般項や和を求める公式を証明したあとに、大学入試でよく出題される問題の解き方を解説していきます。

等比数列をマスターして、確実な得点源にしましょう!

等比数列とは「同じ数をかけ続ける数列」

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まず、「等比数列とは何なのか」ということについて説明します。

等比数列の定義を説明!

①2, 4, 8, 16, 32…
②1, 3, 9, 27, 81…

上の数列をみてください。
①は初項2に2をどんどんかけていった数列で、②は初項1に3をどんどんかけていった数列ですね。(初項とは、数列の最初の項のことです)

このように、「初項にある一定の数をかけ続けていった数列」を、等比数列といいます。
ちなみにこの「一定の数」のことを、「公比」と呼びます。記述問題の解答を書く際に使えるので、覚えておいてください。

「初項」「公比」だけを押さえれば一般項は求められる

いま、等比数列とは「初項にある一定の数をかけ続けていった数列」といいました。
つまり、初項と公比だけわかれば、何番目に何の数があるかがわかるのです!
この、「何番目に何の数があるかわかる」式を、「一般項」といいます。

たとえば
3, 6, 12, 24, 48…
という、初項3、公比2の等比数列があるとします。

この等比数列の一般項は

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で(この式の導き方はあとで扱います)、例えば数列の中の7番目の数を知りたい場合、上の式にn=7を代入すればわかるのです!

ちなみに7番目の数は、
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192
より、192です。

上の一般項の式に実際にn=7を代入してみると、

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より、192が出てきました!


さて、一般項の式を求める方法を説明します。
同じ「3, 6, 12, 24, 48...」の数列で考えていきましょう。

初項と公比は、数列を見ればすぐわかりますね。ここでは初項は3, 公比は2です。
では、一般項、つまりn番目の項に達するためには、何回2をかければいいのでしょうか。

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上の図をみてください。
n番目の数を出すには、公比を(n-1)回かける必要があります。間の数は木の数よりも1つ少ないという、植木算と同じですね。

以上より、一般項、つまりn番目の項は「初項3に公比2をn-1回かけた数」なので、

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となります!


これを一般化すると、初項a, 公比rの等比数列における一般項は

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です!

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等比数列の和の公式

では、次に等比数列の和の公式について説明します。

和の公式を証明!

等比数列で、初項から第n項までの項をすべて足し合わせると、いくつになるでしょうか?

実は、和を求めるためにはいちいち足していく必要はなく、

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この式に代入すれば求められるのです!
ここではこの、「和の公式」を説明していきます!


初項a, 公比rの等比数列の、初項から第n項までの項をすべて足し合わせたものをSをおきます。

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ですね。

ここで、この等比数列の項すべてにrをかけます。つまり、

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です。
ここで、rS - Sを考えると、

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こうなります。よって、初項から第n項までの項の和Sは、

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で表されるのです!


aとかrとかnとか、ごっちゃになって間違えそう…というあなた。そんなときは、この公式を日本語で覚えることをおすすめします。
aは初項、rは公比ですね。そして、

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これは、初項aに公比rをn回かけたもの、つまり「第n+1項」です。

よって、

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がいえます!

私はこれで覚えていました。
文字で公式を覚えようとすると、文字を覚え間違っていたり、間違った数値を入れてしまったり、自分が何をしているのかわからなくなったりしますが、
日本語で覚えると、そういった心配があまりないのでおすすめです!

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和の公式が出てくる問題で練習しよう

ここでは、実際に和の公式を使って問題を解いてみましょう。

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この式はどちらも初項と公比で表せますね。初項をa, 公比をrとおいて考えてみましょう。(ただし、a≠0, r≠1とする)

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これの両辺に(r-1)をかけると、

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a≠0, r≠1より、①’の両辺は0と異なる値をとるので、

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大学入試でよく出る応用問題

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では、等比数列の一般項の求め方と、和の公式がわかったところで、大学入試でよく出る応用問題を解いていきましょう。

漸化式の問題で等比数列は頻出

漸化式の問題では、等比数列は頻出です。


【問題】次の漸化式で定義される数列{an}の一般項を求めよ。

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5anのように、項の前に定数が来る場合、{an}は等比数列になることが多いです。
ここでは解答だけを載せますが、漸化式について詳しく勉強したい方は

漸化式の問題パターンと解き方を東大生が徹底解説!

をみてください。

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等比中項を見逃さない

等比数列の中の連続する3項を取り出してきて、それを小さい順にA, B, Cとおきます。
このとき、
B² = AC
が成り立つことを、「等比中項」といいます。

これは公比rでA,B,Cの関係性を表してみれば簡単にわかります。
A, B, Cは等比数列の連続する3項であるので、

A = 1/r×B
C = r×B

が成り立ちますね。
よって、
AC = 1/r×B×r×B = B²
となるわけです。

これを使って、問題を解いてみましょう。

【問題】
等比数列において連続する3項であるa, b, cが、
a+b+c = 26
abc = 216
を満たすとき、a, b, cを求めよ。


【解答】
a, b, cは等比数列において連続する3項であるので、
b² = ac①
がなりたつ。

また、問題文より、
a+b+c = 26②
abc = 216③
である。

①を③に代入して、b³=216 ∴b=6
これを①②に代入すると、
ac = 36 ①’
a+c = 20 ⇔ c = 20-a ②’

②’を①’に代入して、
a(20-a) = 36
⇔a² - 20a +36 = 0
⇔(a-2)(a-18) = 0
⇔a = 2, 18

これを①’に代入すると、
(a, c) = (2, 18), (18, 2)
a<cより、(a, c) = (2, 18)

よって、求める答えは (a, b, c) = (2, 6, 18)

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等差数列×等比数列

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【解説】
「はあ?そんなん無理でしょ」と思ったあなた、式をじっくりみてみましょう。
まずはxだけ見ると、

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となっていますね。つまり等比数列です。

次に係数をみてみると、
1, 2, 3, …, n-1, n
です。公差1の等差数列になっていますね。

さて、ここでSnにxをかけるとどうなるでしょうか。

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このようになります。項は1つずつずれていく、というようなイメージです。
ここで思い出してほしいのが、「係数が公差1の等差数列である」ということです。
上の式をみながら、同じ項の係数を見比べてみてください。
項が1つずれているので、係数も1ずつずれていますね。


ここで、xSn-Snを考えてみると、

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ものすごくごちゃごちゃしていますが、「…」なしにSnを求めることができました。

文字がたくさん出て来る等比数列の問題は、だいたいこういう風にごちゃごちゃした答えになることが多いので、計算ミスをしないよう気をつけてください!

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最後に

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ここまで、等比数列の一般項の求め方と和の公式を説明したあとに、大学受験でよく出題される問題を説明してきました。

等比数列は基本をきちんと理解できれば、あとはひたすら問題を解いて考え方になれることが重要になってきます。この記事で理解したことをもとに、問題集や行きたい大学の過去問などで練習してみてください!

みなさんが等比数列の問題が得意になれることを祈っています。



等差数列についての記事はこちら↓

等差数列を徹底解説!一般項の求め方や和の公式をマスターしよう!

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この記事を書いた人
15084584
現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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