16425720

最大公約数の意味と求め方!センター試験で使える解法を紹介

はじめに

「最大公約数って何?」と聞かれてあなたは何と答えますか?

もちろん「複数の数に共通する約数の中で最大のもの」という答えは正解です。
しかし、最大公約数にはそれだけじゃない、大学入試に役立つ性質がたくさんあります。
今回は最大公約数について、その定義や性質、求め方などをお話します。
やっかいな整数問題への応用についてもバッチリ解説します!

最大公約数とは

16450324

最大公約数とは、「幾つかの数の共通の約数のうち、最大のもの」のことです。

16427466

上の図からわかる通り、28と42には1,2,7,14という共通の約数=公約数があり、その中で最も大きいのは14なので最大公約数は14です。

このように全ての約数を書き出せば、最大公約数がわかります。しかし、実際に問題を解くときにいちいち全ての約数を書き出していては時間がどれだけあっても足りません。
実はそんな悩みを解決するために、最大公約数を求める便利な計算方法があるのです。

最大公約数の求め方

最大公約数の求め方を2つ紹介します。
それは「すだれ算」と「ユークリッドの互除法」です。

求め方その① すだれ算

16454121

すだれ算では、まず最大公約数を求めたい数を横に並べて書きます。
そして、その数のどちらも割り切ることができる数を見つけて、わり算の筆算を逆向きに書いて割れる数がなくなるまでどんどん割っていきます。
28と42の例では、まず2で割ることができ、その次に7で割れます。そして2と3を共通して割り切れる数は1しか無いので終了です。

16454114

割り算が終わったら、割った数に注目します。
左側に縦に並んだ割った数(図の赤い部分)を全て掛けたものが最大公約数になるのです。
2×7=14より、28と42の最大公約数である14が求まります。

求め方その② ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法は、以下のような手順ですすめます。

①最大公約数を求めたい2つの数のうち、大きい数を小さい数で割る。
②割って出てきたあまりで①の計算で割る数だった数を割られる数として割る。
③そのあまりで②の計算で割る数だった数を割られる数として割る。
④③の操作をあまりが出なくなるまで繰り返す。
⑤最後の計算の割る数が求める最大公約数である。

こうして文字で書いてもわかりにくいと思うので、実際に計算例を見てみましょう

16453971

このように割る数とあまりがそれぞれ割られる数と割る数へと横にスライドしていくと考えると覚えやすいと思います。

すだれ算では最大公約数があまりに大きくなると計算が大変になってしまいます。
そういった時にはこの互除法が大活躍します。

Studyplus slogo@2x
学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
Pc@2x

大学入試に役立つ最大公約数の2つの性質

16450338

さて、便利な計算方法を用いて最大公約数を簡単に求められることがわかりました。
そんな最大公約数には、ただ「公約数の中で一番大きい」というだけ以上に役立つ性質があります。

公約数は最大公約数の約数

まず、最も大事な性質が、「公約数は、最大公約数の約数」ということです。
もう一度28と42の例を見て確かめてみましょう。

16429696

図から28と42の公約数は1,2,7,14です。
また、最大公約数である14の約数も1,2,7,14です。
見事に公約数と最大公約数の約数が一致しています。

これは、素因数分解を考えると当たり前だといえます。

16454786

28と42を素因数分解するとこのようになります。
そして最大公約数である14を素因数分解すると

16454655

となります。
最大公約数は、「共通する素因数を全て掛けたものの積」であり、公約数は「共通する素因数から選んだものを掛けたもの」です。
なので、最大公約数の約数に全ての公約数が含まれているのです。

素因数分解のやり方を早大生が分かりやすく解説!計算問題も付いてます

最小公倍数と最大公約数の積は元の数の積

ある整数AとBの最大公約数がa,最小公倍数をbとすると

16431086

となります。

これは、すだれ算を見るとわかります。

16454152

最大公約数は2×7
最小公倍数は2×7×2×3

28=2×7×2
42=2×7×3

掛ける順番は違えど、すだれ算の縦列を2回、横列を1回掛けることには変わりありません。
よってこれらの積は一致するのです。

大学入試での最大公約数

16450316

大学入試で最大公約数が出てくる場面は、「整数問題」であることがほとんどです。
今回はセンター試験の整数問題で最大公約数について問われた問題を引用して解説します!

平成28年度 センター数学1A(追試験)第4問

16424958

独立行政法人大学入試センターHPより引用

最大公約数を求める方法は「すだれ算」と「ユークリッドの互除法」の2つでした。

解答欄から最大公約数は2桁と大きいことが分かるので、ユークリッドの互除法を使ってみましょう。

16449568

以上より、求める最大公約数は37だとわかります。

ちなみに、37は素数なので、すだれ算で求めようとすると37で両方の数字が割れることを見抜かないといけません。
一方でユークリッドの互除法であれば計算を進めていくだけで自動的に求まります。

最大公約数と最小公倍数の積は元の数の積と一致するので、

16449814

より最小公倍数は5291です。

16449930

です。
abcが自然数の2乗になればいいので、

16449982

となります。

(2)についてはaとbにまず数字を代入してみます

16453707

これは、407と481の最大公約数である37で割ることができるので

16453667

となります。
11と13は互いに素なので

16453672

となります。

この問題を解くためのポイントは
①ユークリッドの互除法を使って最大公約数を求める
②最大公約数と最小公倍数の積は元の数の積と一致する
の2つです。

最後に

最大公約数という言葉一つをとっても、複数の求め方や、沢山の性質があります。
それらをしっかりと整理して覚えておくことで、整数問題等で役立つ場面が必ず出てきます。

この記事の内容があなたのセンター試験や2次試験に役立てば嬉しいです。

Studyplus slogo@2x
学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
Pc@2x
この記事を書いた人
14720503
現役で東京大学理科2類に合格しました。 得意科目は数学と物理、化学で、理系科目を中心に執筆していますので参考にしていただけると嬉しいです。 朝活はじめました。

関連するカテゴリの人気記事

14930700?w=120

【文系大学受験】数学問題集おすすめ一覧〜センターから東大受験まで〜

14926323?w=120

数学3(数三)の勉強法!微分積分の苦手を克服しよう!

14953973?w=120

【数学の参考書】医学部・旧帝大を突破するための数学勉強法!

15673721?w=120

数学が苦手な私が現役で東京大学理科一類に合格した数学勉強法

15622206?w=120

因数分解とは?因数分解の公式と解き方を慶應生が教えます!【問題付き】

15379060?w=120

数学記述問題対策!答案の書き方のコツとおすすめ参考書

関連するキーワード

スマホアプリで
学習管理をもっと便利に
Foot bt appstore
Foot bt googleplay