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素因数分解のやり方を早大生が分かりやすく解説!計算問題も付いてます

はじめに

あなたは素因数分解のやり方、しっかり分かっていますか?計算問題はちゃんと解けますか?
素因数分解は数学の整数分野の中でも基本的な知識で、ここをしっかり抑えていないと難しい応用問題などは手も足も出ません。素因数分解のやり方をマスターしておかないと、今後の学習に支障が出てきます。
素因数分解は最初は難しく感じるかもしれませんが、やり方に慣れてしまえば後はパズル感覚でサクサクできるようになります。この記事では、素因数分解のやり方や、それを応用した約数の個数の求め方などを丁寧に図を使って解説していきます!今わからなくても、この記事をじっくり読んで理解すれば、きっと素因数分解が得意になりますよ!

素因数分解とは?

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素因数分解とは、「自然数を素数の掛け算で表す」ことです。素因数分解をする際には、注意点が2つあります。

1つ目として、素因数分解の対象は「自然数」であるということです。「自然数」とは「正の整数」で、「2」「30」「400」などのことを指します。よく間違える人がいますが、「0」は自然数ではないので、気をつけてください!
よって 
−45=−3×3×5
は素因数分解っぽいですが、対象が「自然数」ではないため素因数分解とは言いません。

2つ目としては、ちゃんと「素数」の掛け算で表しているかという点です。「素数」とは1とその数自身以外に約数をもたない数のことです。「2」「3」「5」などは、1とその数自身以外に約数を持たないので素数です。「4」「6」などは、1とその数自身以外にも「2」や「3」といった約数を持つので素数ではありません。そして、勘違いしやすいですが「1」も素数ではありません。
よって
24=2×3×4
7=7×1
などは素因数分解ではないのです。

素因数分解の例

では素因数分解の例を見ていきましょう。
「30」、「45」、「64」の素因数分解はそれぞれ下のようになっています。

16395591

16395610

16395613

「45」「64」のように素因数分解では同じ素因数が2個以上出てきたら、累乗でまとめます。
「3×3×5」「2×2×2×2×2×2」のようには書かないので、注意しておきましょう!

素数を覚えておこう

「自然数を素数の掛け算で表す」操作である素因数分解を行うには、素数をある程度覚えておかないといけません。どれが素数でどれが素数でないのかわからないと、適切に素因数への分解ができないからです。そこで、高校受験〜大学受験レベルまでで覚えておくべき素数を下にまとめてみました。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

この10個の素数は是非暗記しておきましょう。といっても、ただの数字の羅列を丸暗記するというのはなかなかしんどいかもしれません。ですのでこの素数たちの覚え方として、私の使っていた語呂合わせを紹介しましょう。

兄さん5時にセブンイレブン、父さん「いいな!」と行く。兄さん肉。
(2) (3) (5)  (7)  (11)   (13)   (17)    (19)  (23) (29)

最後の「兄さん肉」の無理矢理感が強いですが、そこはご了承ください(笑)

素因数分解のやり方

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いよいよ素因数分解のやり方に移ります。
素因数分解の基本操作としては、「元の自然数が1になるまで、素数で割ることを繰り返す」です。
具体例として、「60」を素因数分解してみましょう。

素因数分解をする際には、まず一番小さな素数から順に、元の自然数が割れるかどうかを試していきます。
60は一番小さな素数「2」で割れるでしょうか?

60÷2=30

無事割ることができましたね。

次に、割って出てきた数「30」も同じように小さい素数で割れるか試していきます。

30÷2=15

これも「2」で割れました。

では「15」は?

15÷2=7あまり1

「15」は「2」では割り切れないようです。こういう時は、「2」の次に小さな素数「3」を試します。

15÷3=5

「3」では割ることができましたね。

では出てきた数の「5」はどうでしょう?ここでは、「2」から試していく必要はありません。なぜなら、「3」で割る以前にもう「2」では割れなくなってしまっていたのですから。このように、素因数分解を進めていく際には、「前回割った素数と同じかそれより大きい素数」だけを試していけばいいんです。

5÷3=1あまり2

どうやら「3」では割り切ることができないようです。よって、「3」より大きい素数「5」を試します。

5÷5=1

ここでようやく「1」が出てきました!素因数分解の基本操作はこれで終了です。

いまやったような操作を筆算の形で書くと、下の図のようになります。

16396403

「1」が出てくるまで割り切ったら、割るのに使用した素数、つまり「素因数」をかき集めます。
上の図で色の付いた数「2」「2」「3」「5」が「60」の素因数です。
これを使って、素因数分解の形である、「自然数を素数の掛け算で表した形」をつくります。

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最後に指数を使って同じ素数をまとめて、素因数分解の完成です!

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計算問題

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それでは素因数分解のやり方が分かったところで、練習問題を解いてみましょう。
答えは「最後に」を終わりの方に載せておくので、後で確認してみて下さい。

問題1

9を素因数分解せよ

問題2

18を素因数分解せよ

問題3

65を素因数分解せよ

問題4

4301を素因数分解せよ

問題5

31を素因数分解せよ

素因数分解の応用問題

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実際の入試では、「○○を素因数分解せよ」といったようなシンプルな問題はまず出てきません。素因数分解の知識は、それを応用した形で問われます。ここでは、そういった問題の具体的な例を挙げて解説していきます。

2乗をつくらせる問題

問題:√150nを整数にする最小の自然数nを求めよ

この問題を解く指針としては、√150nを整数にしたい、つまり√を外すことを考えればいいわけです。
√を外すには、√の中身を二乗の形にすればよい、ここで素因数分解が登場します。
150を素因数分解してみると、

16398262

よって、ここに「2」と「3」をさらにかければ

16398394

となり、二乗の形になります。もちろん「2」「3」「5^2」をかけても、

16398468

と二乗の形になりますが、問題文で求められているのは「最小の」自然数です。
ですから正解は、
n=2×3=6
になります。

約数の個数を求める問題

問題:2520の正の約数の個数を求めよ

「6」や「12」など小さい数だったら、約数を一つ一つリストアップして個数を数え上げることもできるのですが、これだけ大きな数だとそのやり方は大変です。
そこで、素因数分解の考えを使うと簡単にこの手の問題を解くことができます。
まず2520を素因数分解してみましょう。

16398664

2520の約数の個数というのは、これらの素因数の組み合わせの数と同じです。今からなぜそうなるのかを説明します。

まず「約数」というのは元の数を掛け算の形で表す、つまり「分解」した時に出てくるパーツのようなものです。そして、素因数分解というのは、「素数」というこれ以上分けられないパーツにまで、元の数を「完全に分解」する操作のことです。よって、最小のパーツである「素因数」を組み合わせれば、それ以上に大きいパーツである「約数」を作れるということですね。
下の「ロボットと部品」の図を見てもらえれば、なんとなくイメージしやすいかなと思います(笑)

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そういうわけで、「素因数」の組み合わせにより「約数」がつくれるので、「素因数の組み合わせの数」が「正の約数の個数」に等しいということが分かります。

では、その「素因数の組み合わせの数」というのは一体どうやって求めればよいのでしょうか?
分かりやすくするために、下に図を用意しました。

16399090

まず素因数「2」の使い方としては、図のように2^0から2^3までの4パターンがあります。(2^0=1です。このように何らかの数の0乗は1になります。)
そこで、仮に2^0を使うとしましょう。するとその2^0に対して、素因数「3」の使い方は3^0から3^2までの3パターンがあります。
同様にして、この段階で選んだ3のなんとか乗に対して、「5」の使い方が5^0か5^1で2パターン、そこで選んだ5のなんとか乗に対して「7」の使い方が7^0か7^1で2パターンあります。
よって組み合わせの数は、4×3×2×2=48パターンあるということになります。
従って、2520の正の約数の個数は48個です。

ちなみに、この「正の約数の個数の求め方」には公式があります。
元の自然数Nが次のように素因数分解される時、

16423057

16423218

になります。
累乗の数に1を足してそれを掛けていくだけで正の約数の個数が出るんです。便利な公式ですので覚えておきましょう!

約数の総和を求める問題

問題:2520の正の約数の総和を求めよ

これも小さい数だったら手計算で地道にやっていけば解けるのですが、大きな数になってくると一つずつやっていては日が暮れてしまいます。
実はこれも、素因数分解を利用した公式があるのです。
まず公式から先に紹介しましょう。
自然数Nが次のように素因数分解される時、

16423330

16423640

となります。
なぜこの式が正の約数の総和を表しているかは、この式を展開してみれば分かります。
この一般形の式を展開するのはちょっと大変なので、小さい自然数として30を例としてこの式を見ていきましょう。

30を素因数分解すると
30=2×3×5
で、30の約数は「1,2,3,5,6,10,15,30」の8個です。
公式に当てはめると、30の正の約数の総和は
=(1+2)×(1+3)×(1+5)
になります。
この式を展開してみると、
=(1×1×1)+(2×1×1)+(1×3×1)+(1×1×5)+(2×3×1)+(2×1×5)+(1×3×5)+(2×3×5)
=1+2+3+5+6+10+15+30
よって、正の約数の総和と一致しています!

この便利な公式を使えば、大きい自然数の約数の総和も簡単に求められます。

では、問題に戻りましょう。
2520は次のように素因数分解されます。

16423938

よって公式を用いれば、
2520の正の約数の総和は
=(1+2+2^2+2^3)×(1+3+3^2)×(1+5)×(1+7)
=15×13×6×8
=9360
と分かります。

最後に

素因数分解は、「自然数を素数の掛け算で表す」こと、そのため素因数分解をするには「素数」をいくつか覚えておかないといけません。
素因数分解のやり方は、小さな素数から順に元の自然数を1になるまで割っていくこと、慣れるまでは時間がかかるかもしれませんが、慣れてくればサクサクできるようになります。
素因数分解を応用した問題としては、2乗の形をつくる問題や、約数の個数や総和を求める問題があります。一見素因数分解を使うのかわかりにくい問題ですが、解き方を覚えて出てきたらすぐ見抜けるようにしておきましょう。
素因数分解の基礎から応用まで、わからなくなることがあったらぜひこの記事に戻ってきて復習に役立ててください!


【計算問題の答え】
問題1 9=3^2
問題2 18=2×3^2
問題3 65=5×13
問題4 4301=11×17×23
問題5 素因数分解できない(31は素数のため)

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この記事を書いた人
14720919
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。精密採点DX-Gでの最高得点94.497。95点越えが目標です。

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