16236195

メネラウスの定理・チェバの定理の証明と応用を、東大生が解説!

はじめに

図形問題でよく出てくるメネラウスの定理。
ですが、少し複雑な形をしているため、なかなか覚えられないという方も多いのでは?
心配ありません。忘れたら作ればいいのです。

この記事では、大学受験で頻出のメネラウスの定理とチェバの定理を証明したあとに、実際に大学入試で出題された問題を解いていきます。
メネラウスの定理は、センターで頻出である上、知っていると解答や計算を簡潔にすることができる「武器」です。しっかり使いこなせるようにしましょう!

メネラウスの定理の証明いろいろ

メネラウスの定理とは、以下のような三角形において

16235845

となることをいいます。
私は「行って帰ってあとは順々に」と覚えていました。

16235857

証明方法は色々ありますが、覚えやすいものを3つご紹介します。

平行線を引いてみる

16235864

16235876

垂線を引いてみる

16235888

A、C、Dから直線BFに垂線を引き、その足をそれぞれK、M、Nとおく。
直線AK、直線CM、直線LEはそれぞれ平行であるので、
△AKF∝△CMF
△CMG∝△DNG
△BND∝△BKA

よって、

16235896

以上より、

16235906

面積比を使って証明

16235919

△AGB = a(水色のところ)
△BGC = b(ピンク色のところ)
△DBG = c(斜線が引かれているところ)
とおく。

16235926

メネラウスの定理の逆!?

実は、「メネラウスの定理の逆」と呼ばれる定理が存在します。それがこちら。

16235942

これも、メネラウスの定理ほどではないですが使える定理なので、証明込みで覚えておきましょう。

16235958

Studyplus slogo@2x
学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
Pc@2x

チェバの定理の証明いろいろ

16236166

次はチェバの定理です。チェバの定理とは、以下の三角形において、

16235968

となることをいいます。
順々に点をめぐっていくイメージで、メネラウスの定理よりも覚えやすいですね!

16235976

では、これを証明していきます。主な証明方法は2つです。

面積比を使って証明

16235985

色分けした三角形の面積比を、線分比で表して考えます。シンプルで覚えやすい証明です。

16235994

これを掛け合わせると、

16236001

メネラウスの定理を使って証明

次は、先ほど証明したばかりのメネラウスの定理を用いてチェバの定理を証明してみましょう。

16236018

16236024

ここでのカギは、GC/DCという分数が①②両方の式に出てくるように、メネラウスの定理を使う図形を選んだところです。

16236032

16236037

矢印の推移において、DG、GCの箇所は黒い矢印と赤い矢印が重なっていますね。このように、重なる部分を作ることで、①②をかけたり割ったりすることで、チェバの定理の式を導出することができるのです。

同様に考えると、重なる部分を
AGとGE、またはBGとGFにしてみると、違った式でチェバの定理を証明することができます。興味のある方はチャレンジしてみましょう!

応用問題を解いてみよう!

16236158

それでは、メネラウスの定理を使ったセンター試験の問題を解いてみましょう。
メネラウスの定理は、ほとんどの場合数1Aの最後の大問で出題されます。メネラウスの定理単体で問われる問題は少なく、方べきの定理や外心・内心なども使いながら解く問題が多いため、応用問題ではありますが、基本を押さえていれば必ず解くことができます。

選択問題のため、本番は違う問題を選択するよ、という方もいるかもしれません。そうだとしても、センターの問題は図形問題に慣れるための練習に最適ですので、トライしてみましょう。

2015年本試験数学1A 第6問

16236057

http://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?f=abm00004808.pdf&n=2701-0402+suugaku1A.pdf

実際に図にしながら考えていきます。

16236065

問題文から読み取れた情報から描ける図がこれです。

方べきの定理より、CE×CB=CA×CDです。これに図から読み取れる数値を入れると、
(√5+BE)×√5=5×2=10(…ア、イ)
⇔5+√5×BE=10
⇔√5×BE=5
⇔BE=√5(…ウ)

BE=CB=√5より、
△ACEの重心GはAB上にあり、かつ AG:GB=2:1
よって、AG=5×2/3=10/3(…これがわからない方は、重心を復習しましょう!)

さて、いよいよメネラウスの定理です。
DP/EPが出てくるように式を立てると…

16236075

これでいけそうです。では、数値を入れていきましょう。

16236088

2016年度本試験数1A 第5問

16236098

16236101

http://www.dnc.ac.jp/albums/abm.php?f=abm00007094.pdf&n=2801-0402+suugaku1A.pdf

これも円周角の定理などとの複合問題です。まずは情報を図に書き込んでみましょう。

16236112

さて、まず求めるのは∠DAC=∠DBC=∠DCAと同じ大きさの角を求めることです。
そもそも∠DAC=∠DBCが言えるのは、円周角の定理があるからでした。同じ円周角の定理を、今度は∠DCAに使うと、
∠DCA=∠DBA
よって、選択肢は「0」が正解です。(…ア)

以上より、∠DBC=∠DBAということがわかりました。ここで、角の2等分線の性質を用いると、
AE:EC = BA:BC = 2:1
∴EC/AE=1/2(…イ、ウ)

さて、いよいよメネラウスの定理です。GC/DGが出てくるように式を立てると…

16236123

では、(1)「直線ABが点Gを通る場合」について考えます。

16236126

次にBGの長さを出します。上の三角形を眺めていて、何か使えそうな定理が思いつきませんか?
そう、チェバの定理です。

16236137

また、方べきの定理より、
GC×DG=BG×AG
⇔GC×3GC=3×7
⇔GC²=7
⇔GC=√7(∵GC>0)

よって、DC=2GCより、DC=2√7

最後に

16236163

ここまで、メネラウスの定理やチェバの定理を証明したあと、センター試験の問題を解いてきました。
メネラウスの定理に限らず、数学で出て来る公式・定理はすべて、「毎回証明して導出し、繰り返すうちに自然と覚える」のが一番有効な覚え方です。
演習を繰り返すことで、メネラウスの定理を完璧にし、数学で高得点をめざしましょう!

Studyplus slogo@2x
学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
Pc@2x
この記事を書いた人
15084584
現役で東京大学 文科I類に合格しました。犬派です。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。勉強に悩んでいる方のお役に立てれば幸いです。

関連するカテゴリの人気記事

14930700

【文系大学受験】数学問題集おすすめ一覧〜センターから東大受験まで〜

14926323

数学3(数三)の勉強法!微分積分の苦手を克服しよう!

14953973

医学部・旧帝大を突破するための数学の参考書・問題集の使い方!

15673721

数学が苦手な私が現役で東京大学理科一類に合格した数学勉強法

15745182

【数学】新数学スタンダード演習の使い方と特徴

15379060

数学記述問題対策!答案の書き方のコツとおすすめ参考書

関連するキーワード

スマホアプリで
学習管理をもっと便利に
Foot bt appstore
Foot bt googleplay