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東大生が教える!解と係数の関係を大学受験で使いこなす方法!

はじめに

大学受験の数学を解くのには欠かせない「解と係数の関係」。
ですが、なんとなく存在は知っていてもすぐに忘れてしまう、問題になると使うことができない、などなど、解と係数の関係を使いこなせない受験生はとても多いです。

ですが、解と係数の関係は、それを使うことで複雑な計算をせずに答えを出せ、それゆえ計算ミスを減らせるという大きな長所があります。
また、解と係数の関係を使わないと答えが出ない問題も大学受験では多く出題されます。解と係数の関係が使えないというのは、大問まるごと落とすことにもつながりかねないのです。

そこで、この記事では、解と係数の関係を説明したあと、大学受験で出題されやすい問題や解き方、解と係数の関係を使いこなすために気をつけるべきことなどを紹介します。
解と係数の関係をマスターして、計算時間をぐっと短縮しましょう!

解と係数の関係ってなに?

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テクニックの前に、まずは解と係数の関係から説明します。

まずは因数定理をおさらいしよう

解と係数の関係の証明はいくつか方法がありますが、因数定理を用いた証明が一番わかりやすく、数字もきれいかと思います。まずは因数定理についておさらいしましょう。

因数定理とは、
「多項式f(x)について、f(a)=0をみたすx=aが存在する場合、f(x)は(x-a)で割り切れる」
という定理です。
この定理を理解できている方は次の章に進んでください。
わからない方は、これから因数定理の証明をするので、しっかり理解してから次に進んでください!

f(x)を(x-a)で割ったときの商をQ(x)、余りをRとすると、
f(x) = (x-a)Q(x) + R ①
f(a)=0をみたすx=aが存在するとき、①より
R=0
よって、余りが0であるので、f(x)は(x-a)で割り切れることになる。
よって、
多項式f(x)について、f(a)=0をみたすx=aが存在する場合、f(x)は(x-a)で割り切れる。

二次方程式での解と係数の関係

では、因数定理がわかったところで、二次方程式での解と係数の関係についてみていきましょう。

二次方程式ax²+bx+c=0があり、この方程式の解はx=α, βであるとします。
このとき、因数定理よりax²+bx+cは(x-α), (x-β)で割り切れるので、

ax²+bx+c
=a(x-α)(x-β)
=a{x²-(α+β)x+αβ}
=ax²-a(α+β)x+aαβ

両辺の係数を見比べて、
b = -a(α+β)
c = aαβ
これを変形すると、a≠0より、

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となります。これが二次方程式における解と係数の関係です!

三次方程式もほとんど同じ

三次方程式も同じ要領で証明していきます。

三次方程式ax³+bx²+cx+d=0があり、この方程式の解はx=α, β, γであるとします。
このとき、因数定理よりax³+bx²+cx+dは(x-α), (x-β), (x-γ)で割り切れるので、

ax³+bx²+cx+d
=a(x-α)(x-β)(x-γ)
=a{x³-(α+β+γ)x²+(αβ+βγ+γα)x-αβγ}
=ax³-a(α+β+γ)x²+a(αβ+βγ+γα)x-aαβγ

両辺の係数を見比べて、
b = -a(α+β+γ)
c = a(αβ+βγ+γα)
d = -aαβγ

これを変形すると、a≠0より

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となります。これが三次方程式における解と係数の関係です!

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基本問題

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二次方程式と三次方程式における解と係数の関係がわかったところで、次はそれを実践に移してみましょう。
最初はなかなか解けないかと思いますが、これは何度か解いて慣れることで身につけるタイプの問題です。めげずに何度も取り組んでみてください!


【問題1】2次方程式x²-5x+5=0の解をα, βとする。このときのα+β, αβの値を求めなさい。

【解説1】
解と係数の関係より、α+β=5, αβ=5



【問題2】2次方程式x²-5x+5=0の解をα, β(但し、α>β)とする。このときのα²+β², α-βの値を求めなさい。

【解説2】
解と係数の関係より、α+β=5, αβ=5
α²+β² = (α+β)² - 2αβ = 5²-2×5 = 15

(α-β)² = (α+β)² - 4αβ = 5²-4×5 = 5
∴α-β=√5 (∵α>β)



【問題3】3次方程式x³-5x²-3x+3=0の解をα, β, γとする。このときのα²+β²+γ²の値を求めなさい。

【解説3】
解と係数の関係より、
α+β+γ = 5
αβ+βγ+γα = -3

α²+β²+γ² = (α+β+γ)²-2(αβ+βγ+γα) = 25+6 = 31

大学受験で使いこなすコツ

ここでは、大学受験で解と係数の関係を使いこなすためのコツを紹介します。解と係数の関係は出題パターンが似通っているので、コツをつかむことは非常に大事です。次から紹介する2点に気をつけつつ、問題を解いていきましょう。

対称式に注意

対称式とは、「変数を入れ替えてももとの式と同じになる式」のことです。
たとえば、「x²+y²」は、xをyに、yをxに入れ替えると「y²+x²」となり、これはもとの「x²+y²」と同じなので、xとyの対称式であるといえます。
そして、このxとyの対称式は、必ず「xy」と「x+y」で表すことができます。
また、「x²+y²+z²」など、3つ変数が出てくる対称式も、「x+y+z」「xy+yz+zx」「xyz」で表すことができます。
つまり、対称式が出てきたら、解と係数の関係を使うチャンスなのです!

安易に4乗しない!

【問題】3次方程式x³-5x²-3x+3=0の解をα, β, γとする。α4 +β4+γ4の値を求めよ。

このような問題が出たら、あなたはどう解きますか?

「解と係数の関係からα+β+γ = 5、これを両辺4乗したものを、α+β+γ、αβ+βγ+γα、αβγで表せる形に変える」
と考えたあなた。
「α+β+γ、αβ+βγ+γα、αβγを使おう」という意気込みは良いものの、さすがに4乗は計算するのも変形するのも大変です。

ここで思い出してほしいのは、「α, β, γは3次方程式x³-5x²-3x+3=0の解である」ということ。
つまり、
α³-5α²-3α+3=0 ①
β³-5β²-3β+3=0 ②
γ³-5γ²-3γ+3=0 ③
が成り立つわけです。

【解説】
解と係数の関係より、
α+β+γ = 5
αβ+βγ+γα = -3
よって、α²+β²+γ²=(α+β+γ)²-2(αβ+βγ+γα)=31

①+②+③より、
α³+β³+γ³=5(α²+β²+γ²)+3(α+β+γ)-9 = 5×31 + 3×5 -9 = 161

①の両辺にαを、②の両辺にβを、③の両辺にγをかけると、

α4-5α³-3α²+3α=0
β4-5β³-3β²+3β=0
γ4-5γ³-3γ²+3γ=0

よって、
α4+β4+γ4
=5(α³+β³+γ³)+3(α²+β²+γ²)-3(α+β+γ)
=5×161+3×31-3×5
=893

このように、解と係数の関係を用いる問題では、単に式を変形するだけでなく、「αやβ、γは方程式に代入できる」ということを使わないと解けないものも出てきます。
特に次数が4以上と大きい場合、式を無理に変形する前に、代入などもっと簡単な方法がないか探すくせをつけましょう。

最後に

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ここまで、解と係数の関係を説明し、大学受験で出題されやすい基本問題や、入試問題で解と係数の関係を使いこなすための応用的なコツをお伝えしてきました。
大事なのは、「解と係数の関係を使える形になんとかすること」「4乗以上は安易に手を出さないこと」この2つです。
解と係数の関係は、慣れてくるとパズルのようで面白く感じられてきます。最初の努力が肝心なのです。がんばってください!

【あわせて読みたい】

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この記事を書いた人
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現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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