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東大生が解説!命題の意味や逆・裏・対偶を完璧にしよう!

はじめに

逆、裏、対偶、条件、かつ、または…

などなど、日本語を駆使する「命題」。
複雑で頭がこんがらがりやすく、苦手とする高校生は多いですが、それはつまり大学受験でよく出るということです。
センター試験ではほぼ毎年大問まるまる1つが命題に割かれているほか、ほかの単元においても命題の考え方を用いて整理することはよくあります。

命題は、用語やその意味を丸暗記ではなくしっかり理解しておかないと、理解し問題を解くことはできません。
この記事では先にあげたような用語の解説を、「なぜそうなるのか?」ということに重点をおいて詳しく説明します。

命題をマスターして、論理的思考力を身につけましょう!

命題とは「客観的な真偽がはっきりしている文」のこと

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命題を用いた問題は、「命題」と「条件」という2つの概念が混ざったものがほとんどです。
まずは「命題」から説明します。


わかりやすく言うと、命題とは、「客観的な真偽が必ず決まる文」のことです。
たとえば、
「1+1 = 2」は真の(=正しい)命題で、
「3は5よりも大きい」は偽の(=正しくない)命題です。

ここでたとえば、
「青色はきれいな色だ」という文があるとしましょう。これは命題ではありません。なぜなら、青色をきれいな色だと思うか否かは、人によって違うからです。
あなたがいくら青色はきれいだと思っても、それは命題ではありません。
「客観的に真偽が必ず決まる」というのが大事なのです!

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命題の重要な「ことば」を詳しく解説!

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命題の意味がわかったところで、より実践的な内容に移りましょう。
かつ、または、ならば、逆、裏、対偶といった、命題の単元を勉強するときには必ずでてくることばを、詳しく解説します!

「かつ」と「または」

命題は組み合わせて使うこともできます。その組み合わせ方のひとつとして、「かつ」「または」があります。

命題pと命題qがあるとします。
「pかつq」とは「pとqがいずれも真である」という命題であり、
「pまたはq」とは「pとqのどちらかが真である」という命題です。
ここで重要なのは、「または」の「pとqのどちらか」というのは、「pとqがどちらも真である」場合も含むということです。日常生活で「または」というと、「pかqのどちらか一方」という意味で使われることが多いですが、数学では違う、ということを覚えていてください。

さて、ここまでp、qといった文字を用いて説明してきましたが、具体例で考えてみましょう。
pは「1は2より小さい」という真の命題、
qは「すべての鳥は黒い」という偽の命題であるとします。

このとき、
「pかつq」とは「『1は2より小さい』と『すべての鳥は黒い』がいずれも真である」という命題で、
「pまたはq」とは「『1は2より小さい』と『すべての鳥は黒い』のどちらかが真である」という命題です。

そして、大学受験で「かつ」「または」が出てきた場合、その命題の真偽を問われることが多いです。
『すべての鳥は黒い』というのは偽であるわけですから、「pかつq」の真偽は偽ですね。
一方、『1は2より小さい』は真なので、「pまたはq」の真偽は真です。

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「ならば」の意味、わかってますか?

命題の問題において、「ならば」というのは頻出です。あなたも、
p→q
というのは見たことがあるのではないでしょうか。これは「pならばq」を記号で表しています。


「pならばq」とは命題で、命題というからには真偽があります。まずはその真偽について説明します。

「pならばq」が真であるというのは、「pが真であるとき、qも真である」ということ、もっとわかりやすくいうと、「pが成り立つとき、qも成り立つ」ということです。
pは仮定、qは結論と考えてください。

たとえば、pが「x=1」、qが「x-1=0」であるとしましょう。
p(x=1)が成り立つとき、q(x-1=0)も成り立っていますね。このようなときは、「pならばq」が真であるといえます。

では、pが「x=1」、qが「x-2=0」とします。
このとき、p(x=1)が成り立ったとしても、q(x-2=0)は成り立ちませんね。このようなときは、「pならばq」は偽であるといえます。


では、そもそもpが成り立たない、偽であるときはどうでしょうか。
このときは、qに関わらず、「pならばq」は真となります。

文章で考えてみましょう。
「p(ウサギ)ならばq(白い)」という命題の真偽を考えるとします。

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一般に、命題を「偽」である、と言うには、命題に当てはまらない例(反例)を出さなければなりません。
先に出てきた「すべての鳥は黒い」というのは、「白鳥は鳥であるが白い」という反例があるから、偽であると言えるのです。また、「ウサギであるが黒い」というのは、「ウサギならば白い」という命題に当てはまらない例なので、「p→q」は偽である、と言えるのですね。

それに対して、犬が白いかどうかという情報は、「p→q(ウサギならば白い)」という命題の真偽には影響を与えないですね。「p→q」はウサギの話をしているわけですから。
なので、pが成り立たない場合は、qがなんであろうと反例にはなりえず、よって「p→q」は真である、となります。

この「p→q」の真偽は、本当に大事なのでしっかり理解してください!

逆?裏?対偶って?

さて、次は「逆」「裏」「対偶」について説明します。

その前に、必要なのが「否定」という概念です。
これは名前そのまま、「○○ではない」ということ。
たとえば「x=0」というpがあるとして、その否定は「x≠0」です。
そして、この「pの否定」を記号で表すと、「¬p」となります。

さて、本題に戻りましょう。
「逆」「裏」「対偶」これらはいずれも、
p→q
という「ならば」を使った命題に使うことができます。

まずは「逆」。これは、「仮定と結論が入れ替わったもの」です。→の前後が入れ替わると覚えておけばいいでしょう。「p→q」の逆は、「q→p」です。

「裏」は、「仮定と結論がどちらも否定されたもの」です。→の前後、どちらも「¬」がつくと覚えておきましょう。「p→q」の裏は、「¬p→¬q」です。

「対偶」とは「逆」と「裏」のハイブリッドで、→の前後どちらにも「¬」をつけた上で、その前後を入れ替えると思ってください。「p→q」の対偶は、「¬q→¬p」です。

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そして非常に重要なのが、
命題とその対偶の真偽は一致する、つまり
「p→q」の真偽と「¬p→¬q」の真偽は一致する
ということです!

これはベン図を使うと納得できるかと思います。
「p→q」とは「pが成立するとき必ずqも成立する」、つまりqが成立する条件は、pが成立する条件を包含しているということ。
これをベン図に表すと、

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こうなります。

ところで、これと同じ図を、「qのマルの中にpのマルがある」以外の言い方であらわせるというのがわかりますか…?

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はい。この図のように、
「pのマル以外が、qのマル以外を包括している」と表すことができるのです。

つまり、「pが成立しない条件が、qが成立しない条件を包括している」
…つまり、
¬p→¬q
なのです!!!

このように、「p→q」と「¬p→¬q」は同じことを意味しているので、真偽も一致します。
この「命題とその対偶の真偽は一致する」ことを使う問題の解き方を、対偶法といいます。対偶法を使うと証明がぐっと楽になります。



【問題】n²が奇数ならば,nは奇数であることを証明しなさい.ただしnは自然数を表わす。

【解説】
まず、
「nが偶数ならば、n²は偶数である」…①
まずはこの命題を証明する。

nが偶数のとき、自然数kを用いてn=2kと表すことができるので、
n² = (2k)² = 4k²
n²は偶数であるので、①は真である。

よって、対偶法を用いて、「n²が奇数ならば,nは奇数である」ことが証明できた。

最後に

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ここまで、命題の意味や、頻出の重要なことばについて説明してきました。
命題は、数学にしてはめずらしく日本語との戦いです。つまり、意味を理解してこそ、初めて問題で安定して正解できるということです。
字面を丸暗記するのではなく、「意味を理解する」ということを意識して勉強してください!
あなたが命題をマスターできることを心から願っています!

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この記事を書いた人
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現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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