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半角の公式の覚え方&使い方を解説!大学入試でよく見る形を解説

はじめに

三角関数の勉強をしている時、「こんなに沢山の公式は覚えられない」と悩んだ経験はありませんか?
三角関数は数学の中でもトップクラスに公式の数が多い単元です。
中心となる「加法定理」さえ覚えておけばその場で作れる公式も多いのですが、公式になっている以上覚えておくことで役立つ場面が多いのも確かです。
今回はそんな公式の1つ「半角の公式」について覚えやすい覚え方やどういった場面で使うのか、センター試験ではどんな風に役立つのかということを解説します!

半角の公式とは?実は覚えるのは1つだけ!

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説明の前にまずは半角の公式がどういったものなのか、その公式の形を見てみましょう。
「半角の公式」とは次の3つの式のことです。

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左辺がx/2の三角関数になっていることから「半角の公式」という名前がついています。
また、この公式の重要なポイントとして左辺が2乗した値になっていることに注意してください。

証明は2倍角の公式で

半角の公式の証明は2倍角の公式を使って証明します。2倍角の公式は加法定理が元にあるので、半角の公式も加法定理から派生した公式だといえますね。
2倍角の公式より

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です。-1を移項して両辺を2で割ると

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が求められます。この式のxをx/2に置き換えると

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となって半角の公式の1つが求められました。後の2つの式は

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といった三角関数の性質を用いればすぐに導くことができます。
証明からも分かる通り、3つの式からなる半角の公式ですが実は「1つ覚えておくだけ」で残りの公式も芋づる式に導かれるのです!
覚え方のコツなのですが、「1つ覚えておくだけでいい」半角の公式ですが、覚えるのはcosの式にしましょう。
なぜならcosの式なら左辺にも右辺にも登場するのはcosです。
加法定理などを覚えている時に「ここに入るのはsinだっけcosだっけ?」という風に悩んだ人は多いと思います。
半角の公式はcosに絞って覚えることで、「両辺ともcosが出てくる」ということで余計な勘違いを防ぐことができます。
他の2つの式についてはすぐ導けるので、何はともあれcosの半角公式だけ確実に暗記しておきましょう!

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なぜ半角の公式が必要なのか?

求め方を見れば分かる通り、半角の公式は2倍角の定理さえ覚えていれば簡単な操作で導くことができます。cosの2乗について整理して、xをx/2に置き換えるだけです。
それではなぜわざわざ半角の公式として覚えておく必要があるのでしょうか?2倍角の公式を覚えておくだけではいけない理由はどこにあるのでしょうか。
確かに半角の公式は2倍角の公式とほぼ同じことをいっていますが、「2倍角の公式では見えない視点を与えてくれる」公式なのです。
実際に半角の公式を使う場面は大きく分けて2つあります。

①sin15°やcos75°など有名角の半分の大きさの三角関数の値を求めるとき
②三角関数の高次方程式や不等式の次数を下げるとき

具体例を見てみましょう。

①三角関数の値を求める

今回はわかりやすく一番シンプルな例を使って説明します。

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15=30/2であることに注目して半角の公式を使います。

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sin15°>0なので、両辺の√を取ると

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二重根号を外して整理するとこのようになります。
一見すると求められないsin15°のような値も半角の公式を使うことで求めることができます。

②次数を下げる

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両辺の√を取って次数を下げようと思っても右辺が2重根号になって上手く行きません。
しかし半角の公式を使うときれいに次数を下げることができます。

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このように半角の公式を使うとcos2xの1次式にすることができました。あとは0<2x<πという2xの範囲に注意して解けば解答が求まります。

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今回は説明のために簡単な方程式を用いましたが、4次の不等式の次数を下げて2次不等式にして解くなど様々な形で応用することができます。
「三角関数の次数を下げようと思ったらまず半角公式」と思いつけるようにしておくと解ける問題が増えると思います。

わざわざ半角の公式が公式になっている理由はこういった「有名角の半分の大きさの角度を求める」とか「次数を下げる」問題が数多く出題されるからです。こうした時2倍角の公式だけを覚えていたら、それを変形させて解くという発想はなかなかできません。しかし半角の公式の存在が頭に入っていることで「半角の公式を使えば良いんだ!」と気付き解くことができるのです。

半角の公式の実際の問題での応用

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さて、半角の公式ですが実際にどういった場面で使うのか問題を見てみましょう。
ただsin15°を求めよ、と言われることは少ないですが、次の問題のような形で最終的にsin15°を求める場合があります。

正24角形の面積を求める

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上の図のような正24角形の面積を求めるのに、半角の公式が役立ちます。

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正24角形は1つの角が15°、2辺の長さが1の二等辺三角形が24個集まってできています。
つまり、この三角形の面積を求めることができれば正24角形の面積も求まります。
この三角形の面積は、sinを用いて

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半角の公式を使って

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よって正24角形の面積は

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となります。
このように、図形の面積を求めるときに半角の公式を使わないと解けない場面が多々あります。

また、この正24角形の面積の値を計算すると3.1058...という値になります。
この正24角形は半径1の円(面積はπ)に内接しているので、π>3.1058を示しているともいえます。
三角関数の計算から、円周率πの評価まですることができるのです!
(円周率が◯◯より大きいことを示せ、という問題は東京大学など大学入試で出題されたことがあります!)

最後に

半角の公式の実際の使いみちが幾つか想像できたのではないでしょうか?
たしかに三角関数は公式がたくさんあります。正直1個1個全部覚えるのは面倒です。
しかし、問題を通してそれらの公式が公式になっている理由を実感することでやる気を出して勉強していけると思います。
頑張って三角関数の公式たちを攻略していきましょう!

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この記事を書いた人
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現役で東京大学理科2類に合格しました。いまは教養学部後期課程の4年生です。 得意科目は数学と化学、物理で、理系科目を中心に執筆していますので参考にしていただけると嬉しいです。 最近クロスバイクにハマりました。

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