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二次方程式の解き方解説!解の公式・因数分解の使い方教えます!

はじめに

中学3年生のテスト勉強で多くの人が二次方程式につまずいているのではないでしょうか。
今回の記事では二次方程式に悩めるあなたに、慶應義塾大学理工学部在籍の私が大学入試でも通用する二次方程式の解き方や公式の使い方を解説します。

高校受験を控え、内申点や筆記試験のために全ての科目を勉強しなくてはいけない大変な時期でしょう。
更には中学1・2年の復習もしなくてはいけないのに、二次方程式などに時間を取られている場合ではない、、、そう思っていると思います。

今でこそ慶應義塾大学に通っていますが、私も二次方程式を習いたての頃はどうやって解けばいいのかすら分からない状況でした。
当時の私が苦手な二次方程式を得意に変えた解き方・考え方を伝授します!

二次方程式とは?

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最初に習った時、
「二次方程式って何なん?」「漢字5個使ってるやん、多いわ」
って思いますよね。
初めて見てすぐに二次方程式がどんなものかを思い浮かべることはかなり難しいと思います。
数学の教科書は難しい日本語を使って説明するので私達にとっては理解しにくくなっています。
ですが、実際の内容はそんなに難しいものではありません。
まずは、難しい日本語(数学用語)が何を表しているのか見ていきましょう。

二次方程式とは?

二次方程式は「二次」の「方程式」です。
「方程式」とは、

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などの式のことで、
値の分からない文字(ここではxやt)が含まれています。

「方程式を解く」というのは、xやtの値を求めることです。

「二次」とは、式の中のxやtなどの値の分からない文字の右上の数字の最大値が2であることを示しています。
つまり二次方程式とは

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のような奴らのことです。

一般的にn次方程式にはn個の解(xやtに入る値)が存在するので、二次方程式の解の個数は2個です。
※実数解の個数となると解の個数は0個・1個・2個のどれかになります。

二次方程式の使い道!

二次方程式がどんなものか想像できるようになると、
次は「いつ二次方程式使うん?」って思いますよね。

正直に言うと、実生活の中で使うことはほとんどありません。
どうしても数学という科目の中であったり、建築・製造時の設計などの専門職で使うことが多くなります。
あなたの身の回りであれば、数学の先生は生徒に二次方程式を教えることでお金をもらっていますし、娘に教えてあげることで仲睦まじい関係を保ちたいと願うお父さんもいるはずです。

二次方程式を使う数学の問題については後で紹介します。

二次方程式を解くために必要な3つの力

二次方程式を解くためには、中学校でこれまでに習ってきた2つの技術と、新たに習う1つの技術、合計3つの技術が必要になってきます。
3つの技術とは、

①ルート計算(習った技術)
②因数分解(習った技術)
③解の公式(新しく習う技術)

になります。

詳しい解説について、
①ルート計算は

基礎中の基礎!平方根の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう!

②因数分解は

因数分解とは?慶應生が教える、高校でも使える因数分解の公式と解き方

を参考にしてみてください!

解の公式はこの記事で完璧にしていきましょう!

二次方程式の解き方!

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お待たせしました、ここから二次方程式の解き方を紹介していきます!

ルート(√)による二次方程式の解き方

まずは最もシンプルな二次方程式の型から見ていきましょう。

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と解きます。(中学で習う数学ではa>0)
xを二乗するとaになることを上の二次方程式が表しているので上記の解き方で解けます。
解に±が付くことを忘れないでください。負の数字も二乗すると正の数になるからです。

パターン①

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【解答】

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平方根の扱いに慣れていないと、最もシンプルな二次方程式も解くことができません。
しっかりと平方根の単元を理解することが大切です。
基礎が大事とよく言われるのは、各単元が密接に関係しているからです。

パターン②

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【解答・解説】
まずは

15891281

の形に式変形します。
パターン①の解き方で解けるようにするためです。

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パターン③

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【解答・解説】
まずは

15891323

の形に式変形します。
パターン①の解き方で解けるようにするためです。

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パターン④

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【解答・解説】
まずは

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の形に式変形します。
ここでは、二乗の展開をせずにカッコを付けたまま計算したほうが楽になります。
二次方程式を解くときのちょっとした計算のコツです。

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ここまでは平方根の単元が大きく関わってきます。
しっかりと平方根を理解してから二次方程式に挑みましょう。

因数分解による二次方程式の解き方

次に因数分解による二次方程式の解き方を解説します。
どうして因数分解することで二次方程式が解けるのかというと、

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ここで因数分解が完成した2行目に注目すると、
左辺がかけ算の形で書かれていて、右辺が0になっています。
つまり、(x+2)もしくは(x+4)が0であるということになるので、

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と二次方程式が簡単に解けてしまうのです!

因数分解ができれば、二次方程式なんて楽勝!

なので、因数分解の練習を積んでください。

解の公式による二次方程式の解き方

最後に、ルートを使っても解けない、因数分解ができない二次方程式の解き方を紹介します。

それは、二次方程式の解の公式を使う解き方です。公式を使えば一発で解を求めることができますが、計算量がかなり多くなってしまうので、上記の方法で解ける場合は解の公式は使わないようにしましょう。

【公式】

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確実に暗記してください。
呪文のように
「にーえー分のマイナスびープラスマイナスルートびーの二乗マイナスよんえーしー」
と声に出して覚えてください。
100回言えば覚えられます。

ここからは、この公式の導出方法(平方完成を用いる)を紹介します。興味のない方は飛ばしてください。

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の形を作るために平方完成を用います。

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公式の呪文を100回唱え終わったら、実際に問題を問いてみましょう。

例題

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公式に当てはめると、

15891443

このように公式であれば何も考えなくていいですが、計算量が多くなります。

【まとめ】

二次方程式は
①ルートを外す解き方
②因数分解を使う解き方
③解の公式を使う解き方
の3つで解きましょう。

具体的な二次方程式の問題を解いてみよう!

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問1)二次方程式を解きなさい~解き方判断の練習~

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この4つの二次方程式を解いてみましょう。
二次方程式の問題で最も大切かつ最も難しいのは

    ⅰ)ルートを外す
    ⅱ)因数分解 
    ⅲ)解の公式

のどのやり方で解く二次方程式なのかを判断することです。
ⅰから順番に解き方を探るのが定石です。

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二乗の形

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ではないのでⅰの解き方ではありません。
次にⅱ)因数分解できるかどうか試してみると、

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因数分解で解く二次方程式でした。

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の形にできそうなのでⅰの方法で解きましょう。

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15891498

ではないのでⅰの解き方ではありません。
次にⅱ)因数分解できるかどうか試してみると

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たすきがけを使って因数分解することができました。
そのまま二次方程式を解くこともできました。

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は③と形は似ていますが、因数分解することができません。
自分でたすきがけの型を書いて確かめてみてください。

こんな時には解の公式です。
「にーえー分のマイナスびープラスマイナスルートびーの二乗マイナスよんえーしー」
と唱えて余白に公式を書いてみましょう。

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これに

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を代入しましょう。

【解答】(実際に解答用紙に書くのはここからです。)

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問2)二次方程式を利用して解く問題

二次方程式を利用して解く問題は数多くあります。
本記事では基本的な問題を1問だけ見てみましょう。

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【解答】
縦の長さをxcm(x>0)と置くと、横の長さは(x+4)cmとなるので

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二次方程式を利用した文章問題は、何を文字でおくか、がポイントになります。
そして記述問題のときに単位やxの範囲がある場合は必ず文章で書きましょう。

問3)二次方程式と他の単元の融合問題(高校レベル)

二次方程式は、直接問題になるよりも融合問題として出題されることが圧倒的に多い単元です。特に高校数学では判別式と関わってきます。
中学3年生でこの記事を読んでいる人は「へ~」くらいに見てもらえば大丈夫です。

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問題文からだと、二次関数の単元の問題に見えます。

共有点とは、座標平面上に存在する点のことなので座標は実数になります。

また、2つの式を連立させると

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この問題は、二次方程式

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がaの値によっていくつ実数解を持つかという問題になりました。
実数解がいくつあるかという問題は、判別式を使います。

解の公式のルートの中身を判別式と呼び、
英語表記でDiscriminantの頭文字を取ってDと書きます。
判別式を使うと、
ルートの中身Dが正であれば(D>0)±の符号の通り実数解は2個
ルートの中身Dが0であれば重解となり解は1個
ルートの中身Dが負であれば(D<0)、虚数解となるため実数解は0個
というように解の個数が判別できます。

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ⅰ式の判別式Dは

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よって、

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解と係数の関係

二次方程式

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の解と、係数a,b,cには公式とも言える関係があります。

二次方程式

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の解をα,βとすると、

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となっています。

例題)連立方程式

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を解け。

中学3年生にとってはかなり難しい問題ですが、
高校で習う「対称式は基本対称式を使って表すことができる」ことを知っていれば、
楽に取り組むことができます。
対称式とは、変数を入れ替えても同じ多項式のことです。
二変数x,yに関する基本対称式とは、x+yとxyのことです。
解と係数の関係の左辺は基本対称式になっています。

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ここで、x+yとxyの値が分かりました。
この二変数の基本対称式が分かれば、xとyそれぞれを解と係数の関係を用いて求めることができます。
a=1として解と係数の関係を用いると、xとyは
二次方程式

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の解になります。

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高校入試・大学受験での二次方程式

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高校入試・大学入試問題でも、二次方程式は必ず出てきます。
実際に問題を見ていきましょう。

都立高校入試問題に見る二次方程式

平成28年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答表等

より引用。

第1問の計算問題に毎年「二次方程式を解きなさい」という問題が出ています。

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また、答えとなる数字(xの値)を計算で求めるときに二次方程式を使う問題も第3問の問3に出題されています。

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高校の数学や大学入試問題では二次方程式が解けることは前提となるため、このように最後の答えを求めるときに二次方程式を使うことは多々あります。

大学入試に見る二次方程式

一般な大学入試問題では、
「二次方程式を解きなさい」という直接的な問題が出題されることはほとんどありませんが、題材として二次方程式を用いたり、解答に必要な値を求めるときに二次方程式を解くことはよくあります。

つまり大学入試問題では、二次方程式が計算の基本中の基本ということになるのです。

平成28年度のセンター本試験数学1A第1問(3)では、二次方程式の応用の二次不等式を連立させた問題が出題されました。

大学入試センター 平成28年度本試験の問題

より引用。

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最後に

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今回の記事では

・二次方程式とは何か
・二次方程式の解き方・公式
・二次方程式の問題
・高校・大学入試問題における二次方程式

について見てきました。
解き方・公式を理解すれば、後はどんどん問題を解くことで二次方程式はすぐにできるようになります!
また、中学3年生の定期テストではメインの内容になりますが、それ以降は二次方程式は解けて当たり前の計算と見なされていることが分かったと思います。
なるべく早いうちに二次方程式を完璧に解けるようにしましょう!

この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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