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【微分積分】公式の意味や問題の解き方を基礎の基礎から解説!

はじめに

「微分積分の計算方法は覚えたけど問題になると解けない…」
「そもそも微分積分って何?」
「微分と積分ってどう関係してるの?」

なんて思っているあなた。微分積分は高校数学のヤマ場の1つですが、多くの高校生がつまづくポイントでもあります。

なぜ微分積分でつまづきやすいかというと、それは一見目新しい概念で、覚えることも多く見えるために、「計算方法や公式を意味も考えず丸暗記しがち」だから。

ですが、微分積分とは何を意味しているのか、どうしてこの計算方法が成り立つのか、などなど、一歩踏み込んで考えない限り、微分積分をマスターすることはできません。
この記事では、公式の裏側に踏み込んで、微分積分を説明していきます。

センター試験で大問丸々1つが割かれることもある微分積分。
しっかり使いこなして、数学を武器にしましょう!

微分の意味・問題の解き方をわかりやすく解説!

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「微分積分」とよく言いますが、この2つは(深く関係しているものの)別々の概念です。
まずは微分の基本定理から説明します。

微分とは「接線の傾き」

まずは基礎から。
そもそも、微分とはなんなのか知っていますか?簡単に言ってしまえば、「ある点における、接線の傾き」のことです。
※接線とは「曲線・曲面と1度だけ交わる直線」のことです。

y=x²の例で考えてみましょう。

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たとえば、このグラフでは(5, 25)でy=x²と接する直線①が引かれていますね。
この①の傾きを求めるのが、微分です。
もちろん必ずしも(5, 25)である必要はなく、(0, 0)でも、(-1, 1)でも、(100, 10000)でも、(√3, 3)でも、曲線上の点であればどこでも、接線の傾きが求められます。

では、実際どうやって接線の傾きを求めるのか?
次の章で説明します。

接線の傾きの求め方〜極限を使って〜

接線の傾きを求めるプロセスをまとめると、以下の2ステップになります。
①曲線上の2点を結んだ直線の傾きを求める
②その2点が限りなく近づいた場合(接線)の傾きについて考える
以下、1つずつ解説していきます!

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ここでは、A(x, f(x))における接線の傾きを求めるとします。
上のグラフを見ながら考えていきましょう。

まずは①「曲線上の2点を結んだ直線の傾きを求める」から。

y=f(x)という曲線に、
A(x, f(x))のほかに
B((x+h), f(x+h))
という点をおきます。

このAとBを結ぶ直線(グラフ上の①)の傾きは、

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となることがわかりますね。



さて、次は②「その2点が限りなく近づいた場合の傾きについて考える」です。
B((x+h), f(x+h))がA(x, f(x))に限りなく近づく、つまりAとBの間の距離が限りなく0に近い場合、AとBを結ぶ直線(グラフ上の②)の傾き

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は、どうなるのでしょうか。


ここで出てくるのが「極限」の考え方です。
「B((x+h), f(x+h))がA(x, f(x))に限りなく近づく」というのはつまり、「hが限りなく0に近づく」ということですね。
これを、極限の記号を用いて

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と表します。

そして、「hが限りなく0に近づいた」状態における

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の値は、

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と表し、h=0として計算して値を出します。
そしてこの値が、Aにおける接線の傾きなのです!


おさらいしましょう。
まず、この問題では「曲線y=f(x)の、A(x, f(x))における接線の傾き」を求めるために、
①Aのほかに曲線上にB((x+h), f(x+h))という点をおき、AとBを結ぶ直線の傾きの式を求めました。
そして次に、BとAが一致する状態に限りなく近いとき、つまりhが限りなく0に近づいた場合におけるAとBを結ぶ直線の傾きの値を求めました。そして、この値が、Aにおける接線の傾きなのです!

この「BがAに限りなく近づく」ということがどういうことなのかわからなかったら、実際にグラフ上のBをAに近づけてみるとわかりやすいのではないでしょうか。
BとAを結ぶ直線は、最終的に②に重なります。



さて、ここで実際に数値をいれて、傾きを求めてみましょう。

【問題】x=1におけるy=3x²+1の接線の傾きを求めよ。

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ここで重要なのは、分母がhのときはh=0を代入せず、3h+6の形にしてから代入すること。なぜなら、分母が0になる分数は存在しないからです。
必ず分母≠0になるように計算してから、h=0を代入してください。

さて、今求めた「x=1におけるf(x)の傾きは6」というのは、文字で表すと
f’(1) = 6
となります。
※「f’(x)」は「f(x)を微分した関数」です。あとで出てきます。


これを一般化すると、「x=aにおけるf(x)の傾きはb」というのは
f’(a) = b
と表せます。

接線の傾きの求め方〜公式を使って〜

さて、極限を用いて接線の傾きは求められるようになりましたが、このやり方、正直めんどくさいですよね。
公式を使えば、もっと簡単に接線の傾きを求めることができます。

重要な公式は3つ。すべて基礎中の基礎なので、きちんと使いこなせるようになりましょう。

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です。
どれも先に学んだ極限を用いて説明することができます。

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次は②、 (af(x))’ = af’(x) (ただしaはxを含まない)です。
こちらも極限を使うやり方で考えるとわかりやすいでしょう。

16667425

最後に、
③(f(x)+g(x))’ = f’(x)+g’(x)
 (f(x)-g(x))’ = f’(x)-g’(x)
を説明します。

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以上をまとめると、

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この3つを使うと、わざわざ極限を使うことなく、色々な方程式を微分することができます!


【問題】
①a²+3a+1を微分せよ。
②9x³+3x²+6を微分せよ。

【解答】
①(a²+3a+1)’
=(a²)’+(3a)’+(1)’ (③)
=(a²)’+3(a)’+(1)’ (②)
=2a+3a

②(9x³+3x²+6)’
=3(3x³+x²+2)’ (②)
=3(9x²+2x)
=27x²+6x


正解できましたか?

1や6といった定数を微分するとどうなるのか、わからなかった方もいるかもしれません。
思い出してほしいのは、「xの0乗は1」ということ。
よって、

(1)’
=0x-1 (①)
=0

となります。

②より、すべての定数aの微分は
(a)’
=a(1)’
=a×0
=0
となります。

よく出る問題①〜接線の求め方〜

では、微分の計算ができるようになったところで、よく出題される「接線の式を求める」問題を演習してみましょう。


【問題】
y=2x²-x-1にx=1で接する直線の式を求めよ。


【解説】
解答を書きやすいように
y=f(x)=2x²-x-1とおきます。

まず、f(x)を微分して
f’(x)=4x-1
を出します。
ここでf’(x)という、f(x)を微分した関数を求めておくことで、xに具体的な数値があたえられたとき、すぐに接線の傾きを出すことができます。

いま、x=1で接する直線の傾きを知りたいので、
f’(1)=4×1-1=3
よって[接線の傾き]=3

さらに、求める接線は(1, f(1))を通るので、
f(1)=0より
y=3(x-1)+0
∴y=3x-3

よって、求める接線の式はy=3x-3

よく出る問題②〜3次関数〜

もう1つ。3次関数の概形を書く問題も頻出です。チャレンジしてみましょう!

【問題】y=x³-6x²+9x+1のグラフの概形を書け。


【解説】
まず、概形とは「だいたいの形」のこと。
こう言われた場合、「細かい数値を守る必要はないけれども、「f’(x)=0になる点と増減」を押さえたグラフをかけ!」と言われていると思ってください。

15918231

上の図を見てください。
青い矢印が「f’(x)=0になる点」、赤い矢印がf’(x)=0になる点です。
この3つのポイントを正確にかけば、他の部分は本来の値から(少しくらいは)ずれていても構わない、というのが高校数学における「概形」が意味するところです。
では、ここに気をつけて問題を演習していきましょう。


まず微分です。
y = f(x) = x³-6x²+9x+1とおく。
f’(x) = 3x²-12x+9 = 3(x-1)(x-3)


次に、増減表を書いてみます。
先ほど正確に書くべきと言った、「f’(x)=0になる点」「増減」は、この表で整理しましょう。
ポイントは2つ。
①x, f’(x), f(x)を書く
②f’(x)=0になる点を明記し、その前後の増減を書く

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この表より、「f’(x)=0になる点」「増減」がわかりました。
これをもとにグラフをかくと、

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となります。これが答えです。(線がガタガタですがこれくらいは許容範囲です!)

f(0)は、x=0を代入すればすぐに求められるので書いたほうがよいでしょう。y=0のときに関しては、簡単に求められるときはグラフに書き込んだほうがよいですが、求められないときは空欄で構いません。


ちなみに、「f’(x)=0になり、かつその前後でf’(x)の±が変わる点のy座標の値」を「極値」と呼びます。
さらに、「f’(x)が-から+に変わるときの極値」は「極小値」、「f’(x)が+から-に変わるときの極値」は「極大値」と呼びます。
今回の問題では、極小値は1、極大値は5ですね。

ただ、「f’(x)=0でありながら、極値が生まれないグラフ」というのもあります。

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上のy=f(x)=x³のグラフがその例です。増減表を書いてみると、

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となり、常にf’(x)≧0であることがわかります。

このような場合でも、f’(x)=0となる点はグラフに書き込みます。なので、「極値をグラフに書く」ではなく、「f’(x)=0になる点をグラフに書く」と覚えましょう!

積分とは?基本定理をしっかり理解しよう

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では、次に積分について説明します。基本定理をしっかり理解して、応用問題まで解ける力を身につけましょう。

積分とは「±つきの面積を求めること」

基礎から積分を説明する方法として、「微分の逆」というものと、「±つきの面積を求めること」というものがあります。高校では前者の「微分の逆」のほうで教わることが多いですが、この説明だと積分を実体として捉えられず、計算はできても問題に応用しにくいです。

そこで、今回は「±つきの面積を求めること」のほうで説明します。

15918302

上のグラフで説明します。
x軸、y軸、x=tの直線、y=f(x)で囲まれた部分(赤い斜線の部分)の±つきの面積をS(t)、
x軸、y軸、x=t+Δtの直線、y=f(x)で囲まれた部分の±つきの面積をS(t+Δt)、
x軸、x=tの直線、x=t+Δtの直線、y=f(x)で囲まれた部分(青い斜線の部分)の±つきの面積をΔS
とおきます。

S(x)の式を立てながら、「±つきの面積」としての積分を説明していきます。
(「±つきの」についてはあとで詳しく説明します。しばらくはただの「面積」と読み替えてもらって大丈夫です。)

さて、図をみればΔS=S(t+Δt)-S(t)であることは明らかですが、実は、ΔSにはもう1つ表し方があります。

15918307

上の図を見てください。オレンジの部分の面積=ピンクの部分の面積となるようなx、つまり
ΔS=Δt×f(x)
となるようなxをおくのです。
底辺(Δt)に高さをかけているイメージで、今は「y軸」とy=f(x)の囲む図形を扱っているので、高さ=f(x)です。
そして、xは必ずt≦x≦t+Δtをみたします。

このΔS=Δt×f(x)が、「ΔSの他の表し方」です。

ですが、表し方がわかったところで、この形のままではS(x)の式は求めることができません。
そこで、S(x)の式を求められるように、式を変形していきます。

ΔS=S(t+Δt)-S(t)
ΔS=Δt×f(x)
より、Δt×f(x) = S(t+Δt)-S(t)
この両辺をΔtで割ると、

15918308

となります。これを①とおきます。

次に、①においてΔtを0に限りなく近づけます。
まずは左辺から考えてみましょう。
すると、xは必ずt≦x≦t+Δtをみたしますから、
x=tとなりますね。つまり

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です。

次は右辺です。

15918318

・・・見覚えがありませんか?この式、実はS(t)の微分をしているんです。ここが微分と積分が関係しているポイントです。
よって、

15918323

とわかります。

以上より、①の両辺においてΔtを限りなく0に近づけると、
f(t) = S’(t)
であることがわかります。
tをxに置き換えれば、S’(x)=f(x)

最後に、「微分するとf(x)になる関数」をF(x)とおくと、
S(x)=F(x)
が求められました。(F(x)の求め方は次章で説明します)

そして、これを「∫(インテグラル)」という記号を用いて書くと、

15918335

となります。
この「インテグラル」は、実際に数値を入れて計算する際によく使うので覚えておきましょう。「dx」は「xで微分する」ということを意味しています。あとで詳しく説明します。


さて、先ほど私は積分とは「±つきの面積を求めること」だといいました。
この「±つき」とはどういうことでしょう?

ΔS=Δt×f(x)
このときに出てきたf(x)、実は、必ずしも+の値とは限りません。
たとえば、

15918347

上の図のとき、ΔS=Δt×f(x)で表せるxをおこうとすると、f(x)は明らかに負の数になりますね。
Δt>0、f(x)<0より、ΔS<0となります。

つまり、積分したい部分がy軸よりも下にある場合、
S(x)の積分値は負の値になるのです。
ここは見落としがちなポイントなので、しっかり覚えておきましょう。

積分の計算のやり方

さて、先ほど置いておいた「微分するとf(x)になる関数」、F(x)の求め方を説明します。
まず微分の計算の仕方を復習すると、

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積分定数というまた新しいワードが出てきたので、説明します。
微分のところで、「定数は微分すると0になる」と言いました。なので、F(x)には無限通りの定数をつけることができるのです。

具体例で説明します。f(x)=x²とすると、

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はF’(x)=f(x)を満たしますが、同時に

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F’(x)=f(x)を満たしますよね。

この定数を、+のあとにつく数字たちを、積分定数「C」で表しています。(CでもAでもkでもなんでもいいのですが、慣習としてCと書いています)

「じゃあ積分の問題は、式が出てくるたびに毎回『+C(Cは積分定数)』って書かなきゃいけないわけ?めんどくさ!」
と思ったあなた。実はそうではなく、実際の問題では「+C(Cは積分定数)」というのは書かないことがほとんどです。

定積分と不定積分

「+C(Cは積分定数)」を書く・書かないを理解するためには、まず
・不定積分
・定積分
この2つの概念を知っておく必要があります。

不定積分とは微分すると関数f(x)になる関数、つまりF(x)のこと。先ほどやったとおり、「+C(Cは積分定数)」を書く必要があります。

反対に定積分は、この関数に実際に数値や文字を代入して求めた、「±つきの面積」のことです。

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赤の斜線の部分の、±つきの面積を求めながら説明します。
赤の斜線の部分はつまり、「a≦x≦bでx軸とy=f(x)で囲まれた部分」のこと。これは、インテグラルを用いて

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と書きます。
そして、「赤の斜線の部分の、±つきの面積」とは
「0≦x≦bでy軸とy=f(x)で囲まれた部分の、±つきの面積」から
「0≦x≦aでy軸とy=f(x)で囲まれた部分の、±つきの面積」を引いたもの。
つまり、
F(b)-F(a)
です。

このとき、
F(x)=g(x)+C(Cは積分定数)とすると、

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となります。積分定数Cが互いに相殺されて、なくなるんですね。
このようにどうせ相殺されるので、関数に実際に数値や文字を代入して求めた、「±つきの面積」である定積分では、積分定数を考慮する必要がありません。

不定積分が微分するとf(x)になる「関数」であるのに対し、その関数に実際に数値や文字を代入して求めた、「±つきの面積」が定積分です。

曲線と曲線の間の面積?!

では、例題をいくつか演習してみましょう。

【問題】放物線y=-x²+3xとx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。


【解説】

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なのです。

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【問題】
y=f(x)=x(x+1)(x-1)とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。

【解説】

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【問題】y=f(x)=x²-1とy=g(x)=x+1が囲む図形の面積を求めなさい。

【解説】

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今までは「y軸」とy=f(x)が囲む図形の面積を求めてきましたが、今回は
「y=g(x)」とy=f(x)が囲む図形の面積である点が重要です。
といっても、難しいことをするわけではありません。

一番初めの、ΔSを使って積分を説明したときに、ΔS=Δt×f(x)の説明として

「底辺(Δt)に高さをかけているイメージで、今は
「y軸」とy=f(x)の囲む図形を扱っているので、高さ=f(x)です。」

と言いました。
今回はy軸ではなく、y=g(x)とy=f(x)が囲む図形を扱っています。また、y=g(x)とy=f(x)が囲む図形においては、g(x)≧f(x)であるのがグラフより明らかです。
なので、高さはf(x)ではなく、g(x)-f(x)なのです。

ここまでくれば、あとは簡単です。
上の説明でのf(x)をすべてg(x)-f(x)に置き換えることができるので、

S’(x) = g(x)-f(x) より、微分すると「g(x)-f(x)」になる関数をH(x)とおくと、

S(x) = ∫ {g(x)-f(x)}dx = H(x)

であるということがわかります!


実際にやってみたほうが簡単に理解できるので、問題を演習してみましょう。
(問題:「y=f(x)=x²-1とy=g(x)=x+1が囲む図形の面積を求めなさい。」)

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最後に

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ここまで、微分と積分の意味や問題の解き方を解説してきました。
微分・積分は、意味さえ理解してしまえばあとは問題に慣れるだけです。手元の問題集や教科書で練習すればするほど、解ける問題が増えて勉強が楽しくなります。

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この記事を書いた人
15084584
現役で東京大学 文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。

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