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【二次関数】グラフと公式を使った最大値・最小値問題の解き方!

はじめに

二次関数が分からない…でも高校入試・大学入試までには二次関数を解けるようになりたい…そんなあなたに、慶應義塾大学理工学部生の私が二次関数の基礎から最大値・最小値問題まで解説します!

でも実は私も高校1年生の時は二次関数が苦手でした。平方完成とかいう意味の分からない言葉を使われ、綺麗に描くことが難しい複雑なグラフが出てきてイライラしていました。
しかし授業中に数学の先生から「大学受験で頻出だから確実にできるようにしておけ!」と言われたので定期テストまでに必死に勉強して自分なりの理解の方法を見つけることで二次関数を理解することができました。
このときに考えた、苦手なりにも二次関数ができるようになった理解の方法をあなたに教えます。

今回の記事では、頂点の求め方や平方完成の方法、グラフの書き方などの二次関数の基礎から最大値・最小値問題の場合分けといった応用問題までの解説をしていこうと思います。
ぜひこの記事を読んで二次関数のイメージを掴み、自分でも二次関数を勉強してみてください。

二次関数の基本と理解の方法!

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まずは数学学習の基本である数学用語を理解し、公式を知るところから始めましょう!
数学用語を知らないと問題文の意味が理解できないので、飛ばさずにしっかりと理解することが大切です。

二次関数とは?

一般的な説明であれば、
「二次関数とは、

15790062

で表される関数である。」
となっています。

関数という言葉がイマイチ何なのか分からない人もいると思いますがあまり気にしなくても大丈夫です。(※)

二次関数が苦手だった当時の私は、あれこれ考えずに
「①式の形で表されるものを二次関数と呼ぶ」と割り切っていました。問題を多く解くに連れて、違和感もなくなってきます。

※xにある値を代入するとyの値も1つだけに決まる時、yはxの関数と言います。右辺が二次の多項式なので二次関数と呼びます。

二次関数の平行移動

二次関数の問題を解くにあたって、平行移動の考え方が非常に重要になってきます。
平行移動自体が問題になることはほとんどありませんが、グラフを描くために頂点を求めるときに平行移動の考え方を使います。

一次関数でも二次関数でも、
pだけx軸方向に、qだけy軸方向に平行移動させる場合、
x→x−p、y→y−q
と書き換えます。
二次関数(1)

15790087

であれば、

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と見比べると、

15790117

となっているので
x軸方向に−1、y軸方向に0だけ

15790123

を平行移動したグラフになるということです。
つまり二次関数(1)の頂点は(-1,0)になります。


二次関数(2)

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であれば

15790178

と比べて

15790165

と書き換えられているので

15790148

をx軸方向に−2、y軸方向に5だけ平行移動させたものになります。
つまり二次関数(2)の頂点は(-2,5)になります。


【まとめ】
pだけx軸方向に、qだけy軸方向に平行移動させる場合、
x→x−p、y→y−qに書き換える

二次関数の平方完成とは?

平方完成とは、二次関数のグラフを描くために①式を変形することです。
①式のままではグラフを描くことができないので、グラフを描ける形に式変形しなくてはいけません。
グラフを描くためには頂点の座標が必要になります。
頂点の座標を求められるのが平方完成という式変形なのです。

ここから①式を用いてどのような式変形をするのかを書いていきますが、これは平方完成の目的を解説するものであって公式ではないので覚える必要はありません。
具体的なやり方は後述しますので平方完成の目的や導出方法に興味がない人は読み飛ばしてください。

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中学3年生で習ったように、

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【グラフ①】

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のグラフは描けると思います。
実際にxにいろいろな値を代入して滑らかに繋げるとこのような形になります。
頂点の座標は(0,0)です。

この②式を

x軸方向に

15790430

y軸方向に

15790441

だけ平行移動したものとして③式を見ることができれば、

15790448

のグラフが描けます。

二次関数の勉強をするにあたって平方完成という言葉を必ず聞くと思いますが、
平方完成が何を表していて何のためにやるものなのか分からないまま式変形しているだけの人が多いと思います。
よく平方の形を無理やり作るための式変形と紹介されていますが、何のために平方の形にするの?と思っちゃいますよね。
私も最初は何をしているのか全くわからないまま言いなりに解いていました。

ここからは具体的な平方完成のやり方を見ていきましょう。

平方完成(1)

15790454

頂点(-1,0)

平方完成(2)

15790461

頂点(-2,5)
【まとめ】
平方完成はグラフを描くときに頂点を求めるための式変形!

二次関数のグラフの描き方

二次関数のグラフは、
②式

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を平行移動させたものという考え方で描きます。
そのためには頂点の座標が必要になりますので、前述した平方完成で頂点の座標を求めます。

グラフの描き方(1)

15790481

頂点(-1,0)

頂点を(-1,0)にして

15790500

と同じ形のグラフを描きましょう。

【グラフ②】

15790504

グラフの描き方(2)

15790525

頂点(-2,5)

今回はxの二乗の係数が3なので、

15790533

のグラフをx軸方向に−2、y軸方向に5だけ平行移動させましょう。

【グラフ③】

15790540

【まとめ】

平方完成で頂点を求めて、二乗の係数に応じた形で二次関数のグラフを描こう!

二次関数の軸の公式

二次関数の頂点のx座標を、二次関数の軸と呼びます。
もちろん平方完成でも求められますが、軸の値はよく求めることになるので公式として覚えてしまいましょう。

二次関数

15790548

の軸は

15790551

で表されます。

基本的な二次関数の問題

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頂点、x軸との交点の座標を求める問題

二次関数

15790556

の頂点、およびx軸との交点の座標を求めなさい。

頂点を求めるので、まずは平方完成です。

15790560

と因数分解できるので頂点は(-3,-28)になります。

x軸との交点を求めるときは、
x軸はy=0の直線と言い換えることができるので

15790579

を連立させてxについて解けば交点のx座標が求められます。

方程式として解くときは平方完成する前の形のほうが解きやすいです。

15790586

となるので交点の座標は

15790594

放物線の方程式を求める問題

問)xの二乗の係数が1で頂点がy=x+1上にあり、点(3,4)を通る放物線の方程式を求めよ。

二次関数で最も重要な情報の1つが頂点ですので、まずは頂点の座標から見ていきましょう。
y=x+1上に頂点があるので頂点の座標は(a,a+1)とおけます。
xの二乗の係数が1なので、求める方程式を平方完成した形は、

15790616

と書けます。
この放物線が(3,4)を通るので代入すると

15790619

よって求める方程式は

15790627

二次関数の最大値・最小値問題

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二次関数で最も難しい問題の1つに最大値・最小値問題があります。
場合分けのパターンが多いため、覚えるよりもその場その場でグラフを描いて自分自身で場合分けを考えましょう。

最大値・最小値問題の基本

まずは、

15790646

の最大値・最小値を求めてみましょう。

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【グラフ④】

15790655

図より最大値なし、x=-2のとき最小値-3

【定義域が-1≦x≦2のとき】

【グラフ⑤】

15790695

図よりx=2のとき最大値19、x=-1のとき最小値3

【定義域が-3≦x≦-1のとき】

【グラフ⑥】

15790711

図よりx=-3,-1のとき最大値4、x=-2のとき最小値3

【定義域が-5<x<-1のとき】

【グラフ⑦】

15790728

図より最大値なし、x=-2のとき最小値3

このように定義域によって最大値・最小値が異なるため、関数や定義域に文字が入っているときは場合分けが必要になることがあります。
次の節で場合分けについて見ていきましょう。

場合分けの問題

二次関数の方程式や定義域に文字が含まれている問題であれば、場合分けをしなくてはいけない可能性があります。
今回は標準レベルの問題を用意してみました。

a>0のとき、関数

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の最大値と最小値を求めなさい。

関数問題でy=と書くときとf(x)=と書くときがありますが大した違いはありません。
f(x)=と書くと代入するときの文字数が少ないというメリットがあるくらいです。

二次関数自体は変化せず、定義域がどんどん広がっていくイメージを持って問題に挑みましょう。

まずは変化しない二次関数のグラフを描き、場合分けについて考えてみましょう。

15790767

頂点(3,-1)

グラフ⑧

15790772

最大値と最小値を分けて考えると理解しやすくなります。
まずは最大値について考えていきましょう。

【最大値】

【グラフ⑨】

15790791

⑨のとき
0<a<6
で最大値

15790802

【グラフ⑩】

15790807

⑩のとき

a=6で最大値

15790819

【グラフ⑪】

15790822

⑪のときa>6で最大値

15790831

次に最小値を考えてみましょう。

【最小値】

【グラフ⑫】

15790844

⑫のとき

0<a<3で最小値

15790851

【グラフ⑬】

15790864

⑬のとき
a≧3で最小値

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難しいと思えていた最大値・最小値問題も、図を描けば計算はほとんどすることなくすぐに答えが出せるのです!

【まとめ】

最大値・最小値問題は図を描けば一発!

二次関数と判別式

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二次方程式において判別式という考え方があります。
判別式と二次関数がどう関わってくるかを見てみましょう。

二次方程式の判別式とは?

判別式とは、二次方程式の係数を用いた、実数解の個数を判別できる式のことです。

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の二次方程式の係数を用いて

15791025

と書くことができます。
英語でDiscriminantと呼ばれるため、頭文字を取ってDと書かれることが多く、解答や解説では最初に

15791028

と置いて以後はDで解答や解説を進めていきます。

二次方程式の解の公式が

15791035

ですが、この公式のルートの中身が判別式になります。

ルートの中身Dが正であれば(D>0)±の符号の通り実数解は2個
ルートの中身Dが0であれば重解となり解は1個
ルートの中身Dが負であれば(D<0)、虚数解となるため実数解は0個

となります。

二次関数と判別式の関係

二次方程式の分野の考え方である判別式がどうして二次関数の分野で出てくるのかというと、
二次方程式はx軸y=0の直線と二次関数①式の連立方程式と考えることができる、つまり二次方程式の解は直線と二次関数の交点の座標になるからです。

実数解を持たない場合は、実数座標平面上での交点がないためx軸と二次関数が交わらないということになります。

つまり
D>0のとき二次関数とx軸の交点は2個
D=0のとき二次関数とx軸の交点は1個
D<0のとき二次関数とx軸の交点は0個
となります。

判別式を用いる問題

判別式を用いた二次関数絡みの問題では、二次方程式の実数解の個数や実数解の条件についてのものが多くなっています。

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注目する点は3つあります。
①判別式②軸の位置③x=kのときのyの値(kは定義域の端の値や0などの基準となる値)
実際に自分で図を描いてこの3つの条件を探しましょう。
今回は図をどう書けばいいかを実際の問題を例に見ていきましょう。

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とする。
この二次関数の軸は

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(1)正の実数解の負の実数解を持つ。

グラフ⑭

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③に注目してf(0)<0であれば自動的に①D>0を満たします。
軸の位置はどこでも問題ありません。

(2)異なる2つの正の実数解を持つ。

【グラフ⑮】

15791089

図より、条件を満たすには
①D>0
②軸a>0
③f(0)>0
となります。

これらを解くと、
①0<a<4
②a>0
③a<0または2<a
となるので答えは2<a<4

(3)-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解を持つ。

【グラフ⑯】

15791115

図より
①D>0
②軸-1<a<1
③f(-1)>0
④f(1)>0
の条件になります。

①より0<a<4
②より-1<a<1
③は常に満たされている
④よりa<(3-√7)/2または(3+√7)/2<a

よって
0<a<(3-√7)/2
となります。

図を描いて条件を求めることができれば、後は二次不等式を解くだけです!
数学というよりはパズルのイメージに近いので、実際に取り組んでみると想像よりも簡単ですよ!

高校入試・大学入試問題における二次関数

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基本事項を中学3年生で習い、本格的には高校1年生で習う二次関数ですが高校入試・大学入試問題でかなり重要な単元になります。

都立高校入試問題では頻出!

中学3年生では「二乗に比例する関数」として習いますが、都立高校入試問題第3問で頻出の単元となっています。
多くの場合、一次関数や平面図形との融合問題として出題されます。
高校で習う「二次関数」の基本となる内容なので、「二乗に比例する関数」を理解して入学してほしいという思いの表れですね。

平成28年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答表等

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東京都教育委員会ホームページより引用

二次試験でもよく使われる!

高校入試だけでなく大学入試でも二次関数はよく出題されます。
高校2年生で習う微分積分の内容と絡めて出題されることが多くあります。
図形問題として直接的な二次関数が出題される場合もあれば、最大値を求めるために二次関数の考え方を用いる場合もあり、様々な出題のされ方があります。

今回は、日本最難関大学である東京大学で二次関数が出題された問題を紹介します。
基本的な問題から、東京大学で出題される問題まで幅広い単元である二次関数が重要な単元であることが分かってもらえると思います。

東京大学平成28年度第2次学力試験試験問題

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東京大学ホームページから引用

最後に

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今回の記事では、
①二次関数の基本・グラフ・平方完成
②最大値・最小値問題
③二次関数と判別式の問題
④高校・大学入試問題における二次関数
について書いてきました。
基本的な問題の解説やグラフも載せたので、具体的なイメージが掴めたのではないでしょうか。
また、高校入試や大学入試でも題材になるほど重要な単元であることも理解できたと思います。
この記事をきっかけに、あなたが苦手な二次関数を克服してくれることを願っています。

この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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