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基礎中の基礎!平方根の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう!

はじめに

中学数学のヤマ場の1つである「平方根」。

しかし、平方根はイメージがしにくい上に、ルートやら計算やら有理化やら、様々な概念が出てくるため理解が難しく、中学生だけでなく高校生でも苦手としている人は多いです。
ですが、高校数学では平方根はわかっていて当然のものとしてほとんどすべての問題に出てきます。平方根が苦手のまま放っておくと、受験どころではなくなってしまいます。

そこで、今回は「平方根って何?」という基礎の基礎から、センターレベルの問題までを解説します。
平方根をマスターして、数学のわからないところを潰していきましょう!

平方根とは?

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平方根とは何かということを理解するにおいて、必須の概念が「2乗」です。
2乗とはある数を2回かけること。たとえば2の2乗は4、3の2乗は9です。

そして、平方根とは「2乗」の逆の概念です。
0以上のaという数があるとして、ある数を2乗するとaになるとします。この「ある数」を「aの平方根」といい、
文字を使って表すと、
±√a
となります。

えっ、√aだけじゃなくて-√aもaの平方根なの?と思った方もいるでしょう。
aの平方根とは「2乗するとaになる数」のことです。マイナスを2乗する、つまりマイナスにマイナスをかけるとプラスになりますから、-√aは2乗するとaになります。
なので、aの平方根は√aだけでなく、-√aも入ります。

ちなみにこの「√」は、「根号」という名前で「ルート」と読みます。
「+」が「プラス記号」という名前で「たす」と読むのと同じようなものです。
「√a」は「ルートa」と読む、ということだけ覚えておきましょう。

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平方根の求め方

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ここでは、平方根の求め方について説明します。

「さっきaの平方根は√aっていったから、なんでも√の中に入れればいいんじゃないの?」と思ったあなた。それは半分正しくて、半分間違っています。
平方根には表し方が複数あり、中学・高校数学では「ただ√の中に数字を入れる」表し方ではないものを使うことがよくあるのです。

ここでは、その表し方について説明します。

まずは素因数分解からおさらい

この表し方を理解するにおいて、「素因数分解」が非常に重要になってきます。
素因数分解ってなんだっけ?と思ったあなた、まずはここからおさらいしましょう。

素因数分解とは、「ある数を、素数の積で表すこと」です。(素数とは2, 3, 5, 7, 11, 13など、「自分と1以外の数では割り切れない数」のこと。)

たとえば、
8の素因数分解は「8=2³」
12の素因数分解は「12=2²×3」
75の素因数分解は「75=3×5²」
となります。

2乗で表せる数を外にだして、±をつける

さて、先ほど「aの平方根」とは、「2乗するとaになる数」のことだと言いました。
同様に考えて、「a²の平方根」とは「2乗するとa²になる数」、つまり±aのことだといえます。
ここから、√a²=a, -√a²= -a ということがわかります。

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これを用いると、√8や√12、√75を、

8=2²×2
12=2²×3
75=3×5²

より、

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という形で表すことができるのです。

ちなみに、「√a」は必ず0以上、「-√a」は必ず0以下になりますが、「aの平方根」と言った場合は正負どちらも含みます。
ですから、
√8 = 2√2 , -√8 = -2√2ですが、
「8の平方根」は±2√2 となります。
この違いは非常に忘れやすいので、きちんと覚えておきましょう。


よってここまでをまとめると、ある数の平方根は、ある数を√にいれたあと、

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と、求めることができます!

平方根が必ず満たす条件とは?

さて、平方根には、必ず満たす条件というものがあります。

それは、「√の中身は必ず0以上である」ということです。
なぜなら、「2乗したときに負の値になる数は、実数の範囲内には存在しない」からです。…{注}
これはよく使う条件ですので、きちんと覚えておきましょう。

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{注}実は、2乗したときに負の値になる数は実数の範囲外には存在し、「虚数」と呼ばれています。なので、この記事での説明には「実数の範囲内には」という条件をつけています。
この記事では実数・虚数についての詳しい説明は割愛しますが、高校数学の範囲内ですので気になる方は調べてみてください。

平方根の計算

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ここでは、平方根の入った計算の仕方を説明します。
足し算・引き算とかけ算・割り算で計算方法が違いますので、1つずつしっかり理解していきましょう。

足し算・引き算はルートの中に注目

それではまず、足し算・引き算の計算方法を説明します。

足し算・引き算においては、
ルートの中身が同じもののみを足したり引いたりすることができます。

つまり、
「4√2-3√2」は「4√2-3√2=√2」ができるけれども、
「4√5-3√2」はこれ以上簡単な形にすることができないということです。


ではなぜ、「ルートの中身が同じもの」という条件がつくのでしょうか?
これは、ルートを文字に置き換えてみるとわかりやすくなります。

√2と√5は大きさが違いますので、a=√2, b=√5と記号をおくと、
①4√2-3√2 = 4a-3a
②4√5-3√2 = 4b-3a
とあらわせます。
このとき、①はaという同じ文字同士の引き算なので、4a-3a=aとできますが、
②はaとbという違う文字同士の引き算なので、4b-3aから進むことができません。

平方根の計算についてもこれは同じで、ルートの中身が違った場合、平方根の値が変わってきてしまうため、そのまま足したり引いたりすることができないのです。



では、次に少し応用の問題を解いてみましょう。

√12-√75+√48
この計算をしてみてください。



「全部ルートの中身が違う!計算できないじゃん!」と思ったあなた、先ほどの「2乗で表せる数は外に出す」というのを思い出しましょう。
式に出てくる平方根はすべて、
√12 = 2√3
√75 = 5√3
√48 = 4√3
という形で表すことができます。これらのルートの中身はすべて同じ、3ですね。

よって、
√12-√75+√48 = 2√3-5√3+4√3 = √3
と計算することができます。

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かけ算・割り算は「いかに簡単に計算するか」がカギ

さて、次はかけ算・割り算です。
足し算・引き算では、ルートの中身が違うものは計算することができませんでしたが、かけ算・割り算ではルートの中身が違うものも計算することができます。先ほどの文字の例で考えてみると、
4a×5b = 20ab
となることからもわかります。

そして、平方根同士をかけ算した値は、「ルートの中身をかけあわせた数をルートに入れたもの」です。つまり、

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さて、かけ算・割り算に関してもっとも重要なのは、「いかに簡単に計算をするか」ということです。
たとえば、
√12×√48×√27という計算。あなたはどのようにしますか?

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でも答えは出ますが、計算が非常にめんどくさいですよね。



そこで、先ほどの「2乗で表せる数は外に出す」ということを思い出して、
√12 = 2√3
√48 = 4√3
√27 = 3√3
に直してから計算すると、

√12×√48×√27 = 2√3×4√3×3√3 = 24×3×√3=72√3
というように簡単に求めることができます。

このように、かけ算・割り算ではより簡単な計算を追求して問題を解きましょう!

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有理化して見やすい形にしよう

さきほどの

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という計算。
ルートの中で割り算をしたあとに、分母と分子両方に√5をかけることで、分母からルートを取り除いています。
この「ルートを取り除く」こと、これを「有理化」といいます。平方根においては分母を有理化することが圧倒的に多いので、ここでは分母の有理化について説明します。


有理化の方法は簡単です。
「分母にかけるとルートが外れる数」があるとします。これを分母と分子、両方にかければよいのです。分母と分子両方に同じ数をかけても、分数の大きさは変わりません。

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この有理化は、数の属性を簡単な形で表したり、数の大きさを推測しやすくするなどの目的があります。
答えとして書く値が分数で、分母にルートがある場合、基本的には有理化してから答えとしましょう。

ちなみに、大学受験においては簡単な形の分数でしたら、分母が平方根のままでも減点されないこともあります。ですが、減点されるされないの見極めが難しいので、とりあえず有理化する心持ちでいくのが一番安全だと思います。

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平方根の近似値の求め方

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√2≒1.41
というのは聞いたことがありますか?
平方根を、近い大きさの数である「近似値」で表せ、という問題はよく出題されます。ここではこの、「平方根の近似値」について説明します。

覚えるべき近似値

近似値の求め方はあとで解説しますが、√2、√3などのよく出てくる平方根は、近似値は覚えてしまったほうが答えの確認などに使えて便利です。だいたい少数第2位まで覚えておけば十分でしょう。

√2 ≒ 1.41
√3 ≒ 1.73
√5 ≒ 2.24
√7 ≒ 2.64

√3=1.732のときの√300の大きさの求め方

さて、近似値の求め方を説明します。まずは何かしら平方根の近似値が与えられている場合について考えます。

√3=1.732のときの、√300の大きさを求めつつ、考えていきましょう。

このような問題では、「与えられている条件が使えるように、数字の形を変える」ことが重要です。
この問題だと、√3=1.732(与えられている条件)が使えるように、√300(数字)の形を変えよう!ということです。もっと詳しく言うと、300 = 3×100 の100を、ルートの外に出して考えてみましょう。

√300 = 10√3 = 10×1.732 = 17.32

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√2=1.41, √3 = 1.73のときの√6の求め方

√2=1.41, √3 = 1.73のとき、√6の近似値は何でしょう?

これも前の問題と同様に、「与えられている条件が使えるように、数字の形を変える」ことが必要です。
√2と√3を用いて√6を表すと…

√6 = √2×√3 = 1.41 × 1.73 = 2.4393
よって、√6の近似値は2.4393

イチから自分で求めるとき

これまで何かしら平方根の近似値が与えられており、それを手がかりに答えを求める問題を解いてきましたが、今回は平方根の近似値をイチから求めてみましょう。

まず、√11の近似値を考えます。今回は少数第2位まで求めることとします。
初めにやったとおり、11の平方根とは「2乗すると11になる数」のことですから、11の正の平方根をaとおくと
3²= 9
a²=11
4²= 16
より、3ここでaの1の位が求まりました。

次に少数第1位を求めます。
3.2²=10.24
3.3²=10.89
a²=11
3.4²=11.56
より、3.3
最後に少数第2位を求めます。
3.31²=10.9561
a²=11
3.32²=11.0224
よって、3.31以上より、求める値は3.31です。


イチから求める場合、このような地道な作業が必要になりますが、先にやった
√2 ≒ 1.41
√3 ≒ 1.73
√5 ≒ 2.24
√7 ≒ 2.64
を覚えておくとあたりがつけやすくなります。

たとえば√14の近似値を求める場合、
√14 = √2×√7 ≒ 1.41×2.64 = 3.7224
より、3.7224周辺の数を2乗していけば、√14の近似値を手っ取り早く見つけることができるでしょう。

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応用問題を解いてみよう

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では最後に、平方根を用いた応用問題を解いてみましょう。

2<√a<3をみたす自然数aの求め方

【問題】2<√a<3をみたす自然数aを求めよ。

【解説】
ルートがあるから大きさがわかりにくい。ならば外してしまえ!という考え方で、

2<√a<3
∴4これを満たす自然数aが求める答えであるので、答えは5, 6, 7, 8

√12aが正の整数になるような自然数aのうち最小のものとは?

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大きい順に並べよう

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x=√2+3 のときのx²-6x+1 の値の求め方

【問題】x=√2+3 のときのx²-6x+1の値を求めなさい。

【解説】
x²-6x+1=(√2+3)²-6(√2+3 )+3
とやろうとしたあなた。それでもいいですが、もっと楽にできる方法があります。

それは、
x²-6x+1
=(x-3)²-8
=(√2+3-3)²-8
=2-8
=-6
です。

この、平方完成をして計算を簡単にするやり方は、よく出てくるので覚えておきましょう!

最後に

ここまで、平方根とは何?という基礎の基礎から、平方根の求め方、計算方法、近似値の求め方を説明し、最後に応用問題を解説してきました。
平方根を使いこなし、計算を楽に行うためには、ある程度の演習量が必要です。この記事の解説を理解したら、教科書や問題集に載っている問題を解いてみましょう。解いていくうちにコツがつかめるはずです。
あなたが平方根をマスターできることを願っています!

この記事を書いた人
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現役で東京大学 文科I類に合格しました。趣味は声楽で、8歳から10年やっていました。バドミントンのサーブが打てません。 得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。勉強に悩んでいる方のお役に立てれば幸いです。

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