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自然数とは?0や整数との違いは?例題を元に解説します!

はじめに

中学1年生で数学を習い始めたあなたは、小学校までの算数との違いにかなり戸惑っているのではないでしょうか。
0よりも小さい数字を扱ったり、自然数などの難しい言葉が出てきたり、数字よりも文字を扱うことが多くなったり…

いきなりこれまでの算数と大きく異なる数学をやれと言われても、できないのが普通です。
まずはゆっくり数学の基礎の基礎から学習していきましょう。

今回の記事では、数学の基礎の基礎で分からなくて躓いてしまう単元でありながら、高校入試や大学入試、さらには大学の授業にも出てくる「自然数」について学んでいきましょう。
「自然数とは?」「自然数と整数は何が違うの?」「0は自然数なの?」といった疑問から、自然数を用いた基本的な整数問題までを見ていきましょう。

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自然数とは!?

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まずは自然数とは何かという疑問、すなわち自然数という言葉の定義を見ていきましょう!
数学の勉強は数学で用いられる言葉(数学用語)の定義を覚えることから始まります!

英語では「natural number」と呼ばれています。自然が連想されますね〜

中学数学・高校数学における自然数の定義

中学数学・高校数学での自然数の定義を一言で言えば

自然数とは、正の整数である。(1以上の整数)

となります。
ですが、「正」や「整数」という数学用語を知らなければ自然数がなんなのか分かりません。

それぞれの言葉での定義は、
「正」の数とは、0よりも大きな数。(小数や分数を含む。)
「負」の数とは、0よりも小さな数。(小数や分数を含む。)
「整数」とは、0、及び0に1を次々に足したり引いたりして得られる数。(小数や分数は含まない。)
となっていますが、言葉の説明ではしっくりこない人もいると思います。

言葉で見てわかりにくい時は、具体例や図で考えると理解しやすくなります。

【数直線】

17045946

17046231

具体例としては、

正の数・・・1,9/4,14.5,10000,18864.587など
負の数・・・-1,-9/4,-14.5,-10000,-18864.587など
整数・・・-1024,-5,-1,0,15,1024など

です。

負の数と0と正の数全部を合わせて実数と言います。


数学という科目の基本は、数学用語の定義を理解することから始まります。
数学の教科書や説明は、難しい日本語を長々と使って説明しているため読む気が失せてしまったり、何を言っているのか分からないなんてことが多々あります。
そのために数学用語を理解できなくて数学が嫌いになる人も多くいると思います。

ですが実は、実際に計算してみたり図を描いてみたりするとすぐに理解でき、「何だこんなことか」と思うことが多いのです。
数学は実際は簡単なことなのに、難しい表現で説明しているから難しく見えてしまう科目、すなわち「見た目詐欺」な科目なのです。
言葉ではなく数式や図を用いると分かりやすくなることが多いので、言葉のままでは理解できない定義は、数式や図、グラフを用いて理解しましょう。

0は自然数!?

上での説明が理解できれば中学や高校で習う数学において、0が自然数かどうか、もう分かりますね。

自然数とは0より大きな整数のことなので、0は含みません。

0は自然数ではありません。(現在の中学数学・高校数学において。)

なぜここまで「中学数学・高校数学において」という言葉が何度も出てきたかというと、
大学以降ではもっと広い数学を学ぶため、「自然数に0を含めたほうが考えやすいのではないか」という考えも出てきます。
数学の分野によって0を自然数に含める考え方も出てくるため注意が必要なのですが、中学・高校で習う数学では「0は自然数ではありません。」という考えを採用しています。

中学・高校数学において、「0は自然数ではありません。」

整数と自然数の違い

正確に言うと
自然数は正の整数なので、自然数と整数は異なります。
整数の一部を自然数と呼んでいることをイメージしてください。

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自然数を題材とした基本的な問題を見てみよう!

15703148

ここからは、自然数を題材にした具体的な問題を見ていきましょう。

問1)自然数を選びなさい。

1,8.7,1098/11,-4,0,56,-9.8

の中から自然数を選んでみましょう。

【答え】
自然数は「正」の「整数」なので、
答えは1と56になります。

-4は負の整数
-9.8は負の小数
0
8.7は正の小数
1098/11は正の分数
です。

具体的な自然数のイメージが少しずつ湧いてきたでしょうか。

問2)ルートの付いている数が自然数となるような条件について

√(12n)が自然数になるような最小の自然数nを求めてみましょう。

ルート付の数が自然数になるためには、ルートが外れることが条件になります。。
√2=1.41421356…(自然数ではない、正の実数)
√3=1.7320508…(自然数ではない、正の実数)
√4=2(自然数)
というように、ルートの中身が二乗の数になっていればルートが外れて自然数であることが分かります。

ルートの中身12nを素因数分解すると、

15701847

となります。
nは自然数なので、1から順番に自然数を代入していくと

15701855

と表すことができ、n=3で初めて12nが二乗の数になることが分かります。
よって√(12n)が自然数になる最小のnは3になります。

このように自然数のみならず平方根との複合問題であったり、自然数であるために「1から順番に代入する」解法を使うことができたり、多くの応用要素を持つのが「自然数」の考え方になります。

問3)自然数の割り算と余りの問題(平成24年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題 数学第二問)

ここでは、実際に東京都立高校入試問題で出題された、自然数の性質を用いた証明問題を見ていきましょう。

東京都立入試の過去問と答えは、東京都教育委員会のホームページから報道発表資料のページにアクセスすることでダウンロードできます。

次の問題も、東京都教育委員会のホームページから引用しました。

平成24年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答

【問題(1)】

15701875

【解答・解説】

まずは問題文を理解するために、自分に分かるように言い換えたり具体例を探してみましょう!!

「2けたの自然数Pにおいて,十の位の数をa,一の位の数をbとする。」という文章で具体例を考えましょう。
例えばP=45であればa=4、b=5となります。
また、「2けたの自然数Pにおいて,十の位の数をa,一の位の数をbとする。」とおいた場合、P=10a+bと表すことができます。
この表し方は整数問題で何度も使うことになるので、知っておいて損はありません。

「aとbを足した数を9で割った余りをnとする。」という文の具体例であれば
P=45のときa=4,b=5であるので
a+b=9,9÷9=1となりあまりn=0です。
P=58であればa=5,b=8,
a+b=13,13÷9=1あまり4となるのでn=4です。

ここまで具体例を見てみると問1の「n=0となる2けたの自然数P」とは、十の位の数字と一の位の数字を足して9の倍数になる2けたの自然数のことだということが分かります。
数学の問題で具体例を考える事は、答えに近づくためのコツになることがわかりますね!

つまり問1では十の位の数字と一の位の数字を足して9の倍数になる2けたの自然数を探して数えなさいという問題に言い換えができます。

ここまでくれば後は探すだけですね。
「2けたの自然数Pにおいて,十の位の数をa,一の位の数をbとする。」という条件から考えられる「a、bは1≦a≦9、0≦b≦9を満たす整数」であることに注意すれば、
(aが0になってしまうとPが2桁ではなくなってしまう)
問1の条件を満たす数字は
18、27、36、45、54、63、72、81、90、99の10個になります。
(90と99は忘れやすいので気をつけてください。)

【問題(2)】

15701883

【解答解説】

今回の問題では解き方が指定されているため。必ず指示に従いましょう。
まずは「Pを、aとbを用いた式と、mとnを用いた式の2通りで表し」ましょう。

十の位がa、一の位がbなので

P=10a+b (①式)

と表されます。(1)で学んだ表し方ですね!
(例えば、P=37であれば、P=10×3+7)

また、Pを9で割った商がm、余りがnなので

P=9m+n (②式)

と表されます。

Qはaとbを足した値なので

Q=a+b (③式)

と表されます。

ここで、自然数の問題でよく出題される商と余りの問題の考え方・解き方のコツを見ていきましょう。

この問題では、Qを9で割ったときの余りがnであることを証明しなければいけません。
Qを9であった時の、Qと商と余りの関係は

Q=9×(商)+(余り) (④式)

と表すことができます。

商と余りの問題では、与えられた情報から④式の形を作り更に式変形をしていくことで解き進めることができるので、今回の問題でも③の式を④の式の形に変形できれば解けそうだなと検討をつけておきます。


また式変形での証明問題の証明方法は

1)左辺を式変形をして右辺と同じ形にする
2)右辺を式変形をして左辺と同じ形にする
3)左辺・右辺両方を式変形をして同じ形にする

の3通りあることも抑えていると、
「今回の問題では③の式を④の形に変形できれば、④式の(余り)の位置にnが出てくるのではないか」
という解答方針が立ちます。

では早速③式を変形していきましょう。
③式を変形するのに与えられた条件である①式と②式を使います。
今回の問題では、同じPという数字を2通りの方法で表しているため、=で繋いでみると突破口が見えてくるかもしれないと考えて実際に等式を書いてみましょう。

①(P=10a+b)と②(P=9m+n)より

10a+b=9m+n (⑤式)

⑤式に使われている文字の中で③式(Q=a+b)に代入できそうな文字はaとbですね?なのでaまたはbを他の文字で表してみましょう。
⑤式を変形して得られるa=9m+n-b/10もしくはb=9m-n-10aを③式に代入してみると式の形が変わりますが、「どちらを代入すれば上手く解けそうかな?」という疑問が出てくると思います。
結局はどちらを代入しても解けますが、b=9m-n-10aを代入したほうが分数を使わないため計算しやすいのでb=9m-n-10aを③式に代入してみましょう。

Q=a+b
=a+9m-n-10a
=9m-n-9a
=9(m-a)+n (④式の形)

と、上手く変式することができました。

この式の後に、

「9(m-a)は9の倍数なので、Qを9で割った余りはnである」という言葉をつけて証明は終わりです。

実際の問題でどこまで詳しい記述が求められるかということは実際に東京都教育委員会が提示している解答を見て判断してください。

数学の問題を解くときには、ただがむしゃらに解くのではなく【解答解説】のように解く道順を考えてから解き始めましょう。
問題文で与えられた情報をメモとして書き出すことで解く道順が見えてくることもあります。

大学受験では「自然数」はどのように出題されるの?

15703153

高校入試だけでなく大学入試でも「自然数」は扱われます。

問題の条件の一部としての「自然数」

大学入試では具体的な数字というより文字についての条件として「自然数」が使われます。
大学入試センターのホームページから問題を見てみましょう。
センター試験平成27年度本試験数学1・A第5問において、問題全体の条件として自然数という言葉が出てきています。
第5問(2)では、上で紹介した「ルートの付いている数が自然数となるような条件」を題材にした問題も出題されています。

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平成27年度本試験の問題(大学入試センターホームページ)

最後に

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今回の記事では「自然数」ついて
「自然数とは!?」という疑問から始まり、基本的な問題の解き方やコツ、更には大学入試問題でも扱われるほど奥の深い単元であるということを見てきました。
中学1年生の最初に習う「自然数」がこんなにも大切なのかと驚いた人もいるかもしれません。

数学という科目は、数学用語の定義を知ることから始まります。
教科書に書かれている文字だけの説明で理解するのではなく、数直線や図などを用いてイメージを掴むことが大切になってきます。

「自然数」より後に出てくる単元でも、数学用語の定義を確実に抑えてから問題演習に取り組むことで数学で躓くことはなくなります。
問題文で与えられた条件から解き方の道順を考えながら解くという問題を解くときのコツも忘れずに実践してみましょう。

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この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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