15622206

因数分解とは?因数分解の公式と解き方を慶應生が教えます!【問題付き】

はじめに

中学校に入学して小学校の時とは比べ物にならないくらい勉強が難しくなったと感じる人が多いと思います。

特に数学は、算数とは全く異なる見た目や内容をしているために中学1年生の時点で苦手になってしまった人も多いのではないでしょうか。


ですが、数学が苦手なままでは中学校での内申点や高校入試でも不利になってしまいます。
ぜひ早いうちに苦手な数学を克服しましょう!

今回の記事では、因数分解を得意にしていきましょう。
私は中学三年生の時に因数分解のコツを掴んで一気に計算が速くなったことで、数学が得意になりました。

慶應義塾大学理工学部の大学入試の数学で高得点を取ることができたのも、中学三年生の時に因数分解を極めて計算が速くなったことのおかげだと思っています。

数学が得意になるきっかけになるほど重要な因数分解の公式ややり方・解き方を学びながら、高校入試問題・センター試験問題を例に因数分解がどれほど重要かを見ていきましょう。

因数分解とは何だ!?

まずは多くの皆さんが思い浮かべたことがあるであろう、
「そもそも因数分解って何?」
「なんで因数分解しなければいけないのか」
という疑問に答えていきましょう!

因数分解とは何だ!?

因数分解は、簡単に言うと

足し算・引き算で表されている数式をカッコつきのかけ算の形にすること(展開の逆)

です。

つまりコンパクトにまとめる式変形のことです。

例えば、

17159577

となります。公式・やり方・解き方は後ほど見ていきましょう。

因数分解する意味って?

「因数分解」が

「足し算・引き算で表されている数式をかけ算の形にすること(展開の逆)」

であることが分かりましたね。


では、なぜ因数分解をしなくてはいけないのでしょうか???

それは、因数分解を使うと方程式を解くことができるからです。

これまでにならった1次方程式は
因数分解を使わなくても解くことができますが、
これから習う2次方程式、さらにはその先の3次方程式を解くときには因数分解が必要になります。


高校入試や大学入試で因数分解が必要になリます◎

因数分解の公式と解き方・やり方

14650485

ここからは具体的な因数分解の公式や解き方・やり方を学んでいきましょう。


共通する数字・文字・式でまとめる(「共通因数でくくる」と言います。)方法以外に、

基本的な因数分解の方法には2種類あり、

・【公式】による因数分解
・【たすきがけ】による因数分解

があります。

因数分解の基本的な公式

因数分解でまず大切なのは公式です!

 
考えながら因数分解をしていると時間がかかりますが、
公式に当てはまる形であれば考える間もなく答えを出すことができます!

【2乗公式】

16932465

になります。(a,bには具体的な実数が入ります。)


④はたすきがけという方法で因数分解するほうが理解が深まるので覚えなくても大丈夫です。


いきなりaやbが出てきた式を覚えることは出来ないので公式表を見ながら具体的に問題を解いて覚えていきましょう!

【3乗公式】

三次式の因数分解の公式も4つあります。

覚えにくいので何回も問題演習しましょう!


例題はあなたの持っている教科書や問題集に載っているはずです!

自分で問題を探したり、手を動かして解いてみることが最も大切です。

16932467

二次式なら、たすきがけで因数分解!

たすきがけという因数分解の方法は、二次式で因数分解できるものであればどんなものでも使えます。


早く計算できるようになるには、

「慣れること」

が最も大切です。


慣れてしまえば、たすきがけも一瞬でできるようになります!

【たすきがけ】

たすきがけとは、下のような図を使って因数分解をする方法のことです。

16668487

左側の大きなバッテンがタスキをかけている様に見えるためにたすきがけという名前になっています。

◯ばかりで何がなんだか分かりませんね(笑)
でも安心してください。
この記事を読み終わる頃には、たすきがけの図の使い方もバッチリ分かるようになっています。

図を使いながらたすきがけでの因数分解のやり方を見ていきましょう!


例として、

16667273

を、たすきがけを使って

16667489

の形に因数分解してみましょう。

【STEP1】二次式の係数を書き出す!

まずは、二次式の係数p,q,rをたすきがけの図に書き込みます。
qとrの位置が式と図で入れ替わっていることに注意してください!

16667806

【STEP2】左側の◯に数字を入れる!

STEP2では、左側の◯に数字を入れていきます。
ここで出て来る数字が上の図のa,b,c,dです!

下の図に、どのような数字を◯に入れるのかを示しました。

16667523

【STEP3】右側の◯に数字を入れる!

ついに、タスキのバッテンの意味が分かる時が来ました。
右側の◯に数字を入れていきましょう!

STEP3が最も難しくなっています。
慣れれば悩むことなく計算できるようになるので、計算練習をこなしましょう!

下の図に計算方法を説明しました!

16667874

【STEP4】因数分解完成!

16667753

これで最後です!
図の緑の線で囲まれた部分に係数と定数項がでてくるので、因数分解の完成形が分かります!

図から分かった(ax+b)と(cx+d)を組み合わせて

(ax+b)(cx+d)

とすると因数分解が完成します!


文字だけでは分からないので、具体的な数字での例で因数分解してみましょう!

【例題】

15671381

【STEP1】

まずは係数を書き込みましょう。

16667931

【STEP2】

次は左側の◯に数字を入れていきましょう。

16667947

【STEP3】

左側の◯に数字が入りました!
上と下の数字をかけると、確かに5と16になっていますね。

ですが、少し考えてみてください。
バッテンで結ばれた数字をかけると、20と4になります。
20+4=24なので、18と一致しません。

バッテンで結ばれた数字をかけて出て来る2つの数字を足し合わせて18にならなければ、たすきがけは失敗です。

うまく18に一致するように、左側の◯に入る数字を選ぶと、

16667989

となります。

16668030

【STEP4】

16668100

この図より、因数分解の完成形は

【答え】

16668058

数をこなして因数分解に慣れよう!

因数分解は、自分で手を動かして問題を解いた数だけ速くなります。
インターネット上の記事や教科書をいくら眺めたところで速くはなりません。

記事や教科書に載っている公式を見ながら、自分でノートに解いてみる方法しか因数分解ができるようになる道はありません。

【まとめ】

因数分解は、
①共通する数字・文字・式でまとめる(共通因数でくくる)方法
②公式を用いる方法
③たすきがけを用いる方法
の3種類が基本です!

Studyplus slogo@2x
学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
Pc@2x

因数分解の手順と例題

15182453

ここからは、具体的な問題とともに上で紹介した因数分解の使い方を見ていきましょう。

因数分解のやり方の手順として、


①共通する数字や式で
 まとめられる(共通因数でくくれる)か判断する

②公式が使えるかどうか判断する

③たすきがけが使えるかどうか判断する

④置き換えが使えるかどうか判断する

⑤ ①~④が使えなかった時、
 文字の右上の数字が最も小さい文字でまとめると因数分解の糸口になりえる(高難易度)

⑥因数分解できない


となります。

まずは①~③の手順を、次に④と⑤の手順を見ていきましょう。

基本的な因数分解(①~③)

①共通する数字や式でまとめる(共通因数でくくる)ことができるか判断する

15671402

共通因数でくくるとは、上のように式変形することです。

文字の前の数字(係数)が全て3の倍数となっているので、3が共通する数字になるわけです。


数字以外にも、「共通する文字・式でまとめる」ことができます。

15671409

上の式のように、
aが共通する文字、(5a+2)が共通した式になります。

②公式が使えるかどうか判断する

①との複合問題で考えてみましょう。

15671411

という式変形になります。
一段階目で共通因数でくくり、二段階目で

15671414

の公式を用いて因数分解しています。

公式が使える形かどうかは、問題を多く解いていると分かってきます。

最初は公式を使うことができなくても、
答えを見て「ここで使うのか!」というひらめきを重ねていけば、
上手に因数分解できるようになります。

③たすきがけが使えるかどうか判断する

たすきがけが使えるかどうかの判断は最初のうちはトライして見ないと分かりません。

慣れるにつれて見ただけでたすきがけができるかどうか判断できるようになります。

因数分解は自分で手を動かして数をこなし、慣れることで誰でもできるようになります。

難しい因数分解(④・⑤)

④置き換えが使えるかどうか判断する

15671420

という式について、

15671423

と置き換えると、

15671429

と式変形できます。元の見た目のまま因数分解するよりも見やすくなります。


ですが、置き換えによる因数分解には注意しなくてはいけないことが1つあります⚠

それは、置き換えた式は最後に代入しなくてはいけないということです。

見やすくするために置きかえただけなので、
置き換えで使用した文字(ここではA)に元の式(5a+2)を代入しなくてはいけません。

⑤ ①~④が使えなかった時は次数が最も小さい文字でまとめてみる

15671432

上の因数分解は少し難しそうですよね。

ですが、次数(文字の右上の数字)の小さい順にまとめてみましょう。

xは次数が3までありますが、yは右上の数字が無い(つまり次数が1である)ため、
次数の最も小さいyでまとめてみましょう。


すると共通の式としてx+8が出現してくるので今度はx+8でまとめちゃえば因数分解完成です!



使われている文字が2種類以上の時に「次数が最も小さい文字でまとめる」方法で因数分解の糸口を見つけられる可能性があります。

難しい因数分解(高校レベルの因数分解)

ここでは新しい因数分解の公式を2つと、新しい因数分解の考え方を1つ紹介します。

どちらも高校レベルの応用や難問因数分解になるため、まずはこれまで紹介した手順を完璧にしてください。

【公式】

15671438

【考え方】

複数の文字が使われていて、どの文字も最低次数が同じ場合には


「どれか1つの文字(ここではa)を元に

15671468

の形を作る」(A,B,Cは式を表す) ことを意識しましょう。




具体的な例を用いて説明していきます。

17160436

17160613

もう一行目から因数分解したくない人が多いかと思いますが、一つ一つ分解していくとそんなに難しいことではないことがわかります。

都立高校入試・大学受験に学ぶ因数分解

14713111

ここからは都立高校入試問題や大学入試問題を見ながら因数分解について考えていきましょう。

単発問題での因数分解は出題されない

過去5年間の東京都立入試問題を見ても、「因数分解をしなさい」という問題は1問も出されていません。
ただし、「二次方程式を解きなさい」という問題で式変形で因数分解を使うなど問題の途中にはたくさん因数分解が出現してきます。

平成28年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答表等

平成27年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答表

平成26年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答

また解き方を誘導してくれるセンター試験数学1A・2Bでも「因数分解をしなさい」という直接的な問題はほとんど出題されません。

過去3年分のセンター試験問題

あらゆる入試問題で使われる因数分解

多くの問題で、方程式を解いて答えを出すことがありますが、そのときに因数分解を用います。

因数分解を使って解く二次方程式の問題を見てみましょう。


例)【問題】

二次方程式

15817190

を解け。

【解説】

①与えられた二次方程式の左辺が数字や文字の足し算で表されているので、因数分解をしてかけ算の形に変形します。

15817192

②左辺がかけ算の形で表されていて、右辺が0という状況になりました。

(x+3)と(x+4)をかけて0になっているので
x+3=0もしくはx+4=0となり、
答えはx=-3,-4になります。

最後に

15622188

今回の記事では

・因数分解とは足し算の形の数式をかけ算の形にする式変形
・二次以上の方程式や不等式を解くために因数分解が必要不可欠
・因数分解のやり方
・都立高校入試問題・大学受験(センター試験問題)での因数分解の扱い

について触れました。

あなたが数学の問題における因数分解の重要さ・やり方を本記事で学び、実際に因数分解を当然のように使いこなすようになってくれたら幸いです。

Studyplus slogo@2x
学習記録をつけて勉強をもっと効率的に!
受験生の3人に1人が使っているStudyplusで、勉強が続く!
無料会員登録
Pc@2x
この記事を書いた人
14720526
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

関連するカテゴリの人気記事

14930700?w=120

【文系大学受験】数学問題集おすすめ一覧〜センターから東大受験まで〜

14926323?w=120

数学3(数三)の勉強法!微分積分の苦手を克服しよう!

14953973?w=120

【数学の参考書】医学部・旧帝大を突破するための数学勉強法!

15673721?w=120

数学が苦手な私が現役で東京大学理科一類に合格した数学勉強法

15379060?w=120

数学記述問題対策!答案の書き方のコツとおすすめ参考書

15745182?w=120

【数学】新数学スタンダード演習の使い方と特徴

関連するキーワード

スマホアプリで
学習管理をもっと便利に
Foot bt appstore
Foot bt googleplay