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因数分解とは?慶應生が教える、高校でも使える因数分解の公式と解き方

はじめに

中学校に入学して小学校の時とは比べ物にならないくらい勉強が難しくなったと感じる人が多いと思います。
特に数学は、算数とは全く異なる見た目や内容をしているために中学1年生の時点で苦手になってしまった人も多いのではないでしょうか。
数学なのに文字を使っていたり、わけの分からない公式が出てきたりすると数学が苦手になってしまうのも分かります。
ですが、数学が苦手なままでは中学校での内申点や高校入試でも不利になってしまいます。ぜひ早いうちに苦手な数学を克服しましょう!
今回の記事では、因数分解を得意にしていきましょう。
私は中学三年生の時に因数分解のコツを掴んで一気に計算が速くなったことで、数学が得意になりました。
慶應義塾大学理工学部の大学入試の数学で高得点を取ることができたのも、中学三年生の時に因数分解を極めて計算が速くなったことのおかげだと思っています。
数学が得意になるきっかけになるほど重要な因数分解の公式ややり方・解き方を学びながら、高校入試問題・センター試験問題を例に因数分解がどれほど重要かを見ていきましょう。

因数分解とは何だ!?

まずは多くの皆さんが思い浮かべたことがあるであろう、
「そもそも因数分解って何?」
「なんで因数分解しなければいけないのか」
という疑問に答えていきましょう!

因数分解とは何だ!?

「数学なのに気持ち悪い四字熟語を使いやがって」と嫌になってしまう方もいると思います。
ですが基本的に数学は、
「難しい日本語を使って、扱っていることを難しそうに見せる」科目
なので実際に計算してみて理解してしまえば「なんだ、そんなことか、見た目詐欺じゃん」と思えることばかりです。
高校以降でも、「数学は見た目詐欺」ということを頭の片隅に置いておけば数学の勉強が楽になりますよ!


さて本題に戻りまして、因数分解とはなんぞや、でしたね。
簡単に言うと
足し算・引き算で表されている数式をカッコつきのかけ算の形にすること(展開の逆)
です。つまりコンパクトにまとめる式変形のことです。
例えば、

展開(式のかけ算をカッコ無しの足し算に)

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因数分解(足し算をカッコつきのかけ算に)

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となります。公式・やり方・解き方は後ほど見ていきましょう。

因数分解する意味って?

「因数分解」という四字熟語が、
「足し算・引き算で表されている数式をかけ算の形にすること(展開の逆)」
であることが分かると、次はなぜ因数分解をするのかという疑問が生まれます。
実生活ではほとんど役に立たないから知らなくても生きていけると思う人がほとんどです。

もちろん知らなくても生きていけますが、因数分解ができなければ今後大学入試までのほとんどの数学の問題が解けなくなります。
つまり、高校や大学に行きたいと考える人にとって入試を突破するのに因数分解は必要不可欠な武器になります。

なぜ中学から大学入試までの数学が解けなくなるかというと、
因数分解が二次方程式、三次方程式、四次以上の方程式を解くことに必要不可欠だからです!!!!
高校数学・大学入試のあらゆる問題で二次方程式・三次方程式を解かなくてはいけない場面が出てくるので、二次方程式・三次方程式を解く鍵となる因数分解は確実にできるようにしなくてはいけません。

高校数学・大学入試でも頻繁に因数分解を使います!

高校数学・大学入試で答えを求めるときに、ほとんどの場面で二次方程式または三次方程式を解くことになります。
二次関数や図形問題は中学校の学習内容の応用・発展形が高校数学、さらには大学入試に用いられます。

高校で数学につまずかないためにも、中学3年生の時から因数分解をマスターしましょう。

因数分解の公式と解き方・やり方

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ここからは具体的な因数分解の公式や解き方・やり方を学んでいきましょう。
共通する数字・文字・式でまとめる(「共通因数でくくる」と言います。)方法以外に、
基本的な因数分解の方法には2種類あり、【公式】による因数分解と【たすきがけ】による因数分解があります。

因数分解の基本的な公式

因数分解でまず大切なのは公式です! 
因数分解は式変形の一種であるため答えを導くまでに少し考える時間が必要になりますが、公式に当てはまる形であれば考える間もなく答えを出すことができます。

後々の二次関数や図形問題の答えを出す途中の式変形(因数分解)に時間をかけていては最後まで解き切ることはできませんね??時間短縮の意味でも、悩まなくていいという意味でも公式は大切です。

【2乗公式】

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になります。(a,bには具体的な実数が入ります。)
④はたすきがけという方法で因数分解するほうが理解が深まるので覚えなくても大丈夫です。
いきなりaやbが出てきた式を覚えることは出来ないので公式表を見ながら具体的に問題を解いて覚えていきましょう!

【3乗公式】

三次式の因数分解の公式も4つあります。
覚えにくいので何回も問題演習しましょう!
例題はあなたの持っている教科書や問題集に載っているはずです!
自分で問題を探したり、手を動かして解いてみることが最も大切です。

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二次式であればたすきがけで因数分解!

たすきがけという因数分解の方法は、二次式で因数分解できるものであればどんなものでも使えます。もちろん上で紹介した特殊な形の数式にもたすきがけは使えますが、公式を用いたほうが圧倒的に因数分解が速くできるので、迷わず公式を用いてください。

【たすきがけ】

たすきがけは図で説明したほうが分かりやすいので、手書きの図で説明します。

問)

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を因数分解せよ。

ステップ①
たすきがけの型を作る。
xの係数と定数項が二次式とたすきがけの型で位置が入れ替わっていることに注意してください。

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STEP②
STEP①のaとcには赤丸の数字(今回の問題では5)の約数が入ります。
STEP②のbとdには赤三角の数字(今回の問題では16)の約数が入ります。
ad+bcの値が赤四角(今回の問題では18)になるように、a,b,c,dの組み合わせを見つけ、最終的に(ax+b)(cx+d)の形にするのがたすきがけによる因数分解です。

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【答え】

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因数分解ができるようになるには数をこなせ!

因数分解は、自分で手を動かして問題を解いた数だけ速くなります。
インターネット上の記事や教科書をいくら眺めたところで速くはなりません。

記事や教科書に載っている公式を見ながら、自分でノートに解いてみる方法しか因数分解ができるようになる道はありません。

因数分解のコツは、ある程度基本的な因数分解の方法をマスターしてくれば自分で掴むことができます。

【まとめ】

因数分解は、
①共通する数字・文字・式でまとめる(共通因数でくくる)方法
②公式を用いる方法
③たすきがけを用いる方法
の3種類が基本です!

因数分解の手順と例題

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ここからは、具体的な問題とともに上で紹介した因数分解のやり方・解き方を見ていきましょう。

因数分解のやり方の手順として、

①共通する数字や式でまとめる(共通因数でくくる)ことができるか判断する

②公式が使えるかどうか判断する

③たすきがけが使えるかどうか判断する

④置き換えが使えるかどうか判断する

⑤ ①~④が使えなかった時、文字の右上の数字が最も小さい文字でまとめると因数分解の糸口になりえる(高難易度)

⑥因数分解できない

となります。

まずは①~③の手順を、次に④と⑤の手順を見ていきましょう。

基本的な因数分解(①~③)

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と式変形することです。
文字の前の数字(係数)が全て3の倍数となっているので、3が共通する数字になるわけです。

「共通する文字・式でまとめる」とは、

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ということです。
上の式ではaが共通する文字、下の式では(5a+2)が共通した式になります。

①共通する数字や式でまとめる(共通因数でくくる)ことができるか判断する

「共通する数字でまとめる」とは、

②公式が使えるかどうか判断する

①との複合問題で考えてみましょう。

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という式変形になります。
一段階目で共通因数でくくり、二段階目で

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の公式を用いて因数分解しています。

公式が使える形かどうかは、問題を多く解いていると分かってきます。
最初は公式を使うことができなくても、答えを見て「ここで使うのか!」というひらめきを重ねるごとに上手に因数分解できるようになります。

③たすきがけが使えるかどうか判断する

たすきがけが使えるかどうかの判断は最初のうちはトライして見ないと分かりません。
慣れるにつれて見ただけでたすきがけができるかどうか判断できるようになります。

因数分解は自分で手を動かして数をこなし、慣れることで誰でもできるようになります。

難しい因数分解(④・⑤)

④置き換えが使えるかどうか判断する

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という式について、

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と置き換えると、

15671429

と式変形できます。元の見た目のまま因数分解するよりも見やすくなります。

置き換えによる因数分解は、式変形の途中で非常に見やすくできる方法ですが、注意しなくてはいけないことが1つあります。
それは、置き換えた式は最後に代入しなくてはいけないということです。
置き換えによる因数分解は、あくまでも解く人が見やすくするためのものなので、置き換えで使用した文字(ここでは「A」)に元の式(5a+2)を代入しなくてはいけません。

⑤①~④が使えなかった時、文字の右上の数字が最も小さい文字でまとめると因数分解の糸口になりえる

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と因数分解できます。

xは右上の数字(次数)が3までありますがyは右上の数字が無い(つまり次数が1である)ため、次数の最も小さいyでまとめてみましょう。
すると共通の式としてx+8が出現してくるので今度はx+8でまとめちゃえば因数分解完成です!

いくら悩んでも因数分解できない時や、使われている文字が2種類以上の時に「文字の右上の数字が最も小さい文字でまとめる」方法で因数分解の糸口を見つけられる可能性があります。

難しい因数分解(高校レベルの因数分解)

ここでは新しい因数分解の公式を2つと、新しい因数分解の考え方を1つ紹介します。
どちらも高校レベルの応用や難問因数分解になるため、まずはこれまで紹介した手順を完璧にしてください。

【公式】

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【考え方】

「どれか1つの文字(ここではa)を元に

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の形を作る」(A,B,Cは式を表す)

この手順を使うのは、

「全ての文字の最低次数が同じ」

という条件の場合です。



具体的な例を用いて説明していきます。

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もう一行目から因数分解したくない人が多いかと思いますが、一つ一つ分解していくとそんなに難しいことではないことがわかります。

都立高校入試・大学受験に学ぶ因数分解

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ここからは都立高校入試問題や大学入試問題を見ながら因数分解について考えていきましょう。

単発問題での因数分解は出題されない

過去5年間の東京都立入試問題を見ても、「因数分解をしなさい」という問題は1問も出されていません。
ただし、「二次方程式を解きなさい」という問題で式変形で因数分解を使うなど問題の途中にはたくさん因数分解が出現してきます。

平成28年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答表等

平成27年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答表

平成26年度都立高等学校入学者選抜 学力検査問題及び正答

また解き方を誘導してくれるセンター試験数学1A・2Bでも「因数分解をしなさい」という直接的な問題はほとんど出題されません。

過去3年分のセンター試験問題

あらゆる入試問題で使われる因数分解

例)【問題】
二次方程式

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を解け。

【解説】
①与えられた二次方程式の左辺が数字や文字の足し算で表されているので、因数分解をしてかけ算の形に変形します。

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②左辺がかけ算の形で表されていて、右辺が0という状況になりました。

(x+3)と(x+4)をかけて0になっているので
x+3=0もしくはx+4=0となり、
答えはx=-3,-4になります。

高校入試や大学入試の数学の二次関数や図形問題などの難しい問題だったとしても、求める数字を文字でおいた場合、最終的に答えを出すためには方程式を解かなくてはいけないので因数分解ができなければ答えを出すことはできません。

単問では出題されないが、あらゆる問題の途中式で因数分解が必要になるということは
因数分解はできて当たり前の式変形の手段だと問題出題者は考えているということです。

実生活に役に立たなくても、高校や大学に入学するためには因数分解が重要な数学基礎力になるのです。

最後に

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今回の記事では
・因数分解とは足し算の形の数式をかけ算の形にする式変形
・二次以上の方程式や不等式を解くために因数分解が必要不可欠
・因数分解のやり方
・都立高校入試問題・大学受験(センター試験問題)での因数分解の扱い
について触れました。

あなたが数学の問題における因数分解の重要さ・やり方を本記事で学び、実際に因数分解を当然のように使いこなすようになってくれたら幸いです。

この記事を書いた人
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慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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