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数学3(数三)の勉強法!合格のための勉強の進め方とオススメ参考書!

はじめに

数三といえば、受験数学の大ボス。厄介な数学の中でも最も難しい科目だと思っている人はたくさんいるのではないでしょうか?

確かに、微分積分は数学2と比べてを複雑になっていますし、曲線や複素数平面、極限などはそれまで学んできたこととは異なる新しい単元です。
さらに困ったことに学校によっては受験直前まで数3の学習が終わらないところもあると思います。
最難関の科目を独学で身に付ければいけないと思うと、とてもじゃないけど無理だと感じてしまうかもしれません。

しかし、数学3は入試本番でも典型的な問題が出されることがよくあります。
なぜなら、数3そのものが難しいため、あんまり難しい問題を出してしまうと受験生のほぼ全員解くことができず、選抜の意味を無くしてしまうからです。

そのため数三は確かに難しく大変な科目ですが、頑張って基礎さえ押さえてしまえば他の受験生に一歩リードできるオイシイ科目なのです!
数学3を得意にして、志望校合格に大きく近づきましょう。

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数学3とは

今の時点であなたは数学3に対して漠然と難しそうというイメージを持っているかもしれません。
ここで数学3がどういった科目なのか、また大学受験においてどういった位置付けなのかということをしっかりと捉えてみましょう。

曲線・複素数平面、極限、微積分から成る

数学3という科目は、
1.平面上の曲線と複素数平面
2.極限
3.微分法
4.積分法
という単元から成り立ちます。
旧課程では数学3cとして分かれていたものが数学3に統一されたので、そういった意味でもとても範囲は広いです。旧課程で数3cの内数3しか出題しない大学が有ったことを考えると、実質的に試験範囲は増大しているといえます。
4つの単元が単体で出題されることは稀で、微分してグラフの概形を求めたうえで積分するとか積分して求まった関数の極限を求めるというようにそれぞれが複合して一つの問題になることが多いです。

理工学部受験には必須の科目

理工学部の大半では、数学の試験範囲に数学3が含まれます。
多くの大学がでは1,2年次に微分積分学や線形代数学を学びますが、これらは専門的な数学や物理学を学ぶ上でのツールのような位置づけになっています。そして、理工学部の学生が必ず身につけなければいけないこれらの科目の基礎の基礎に当たるのが数学3の内容なのです。
そのため入試の段階で数学3を出題して、大学での勉強の基礎が出来ているかどうかということを問うているのです。
一方理系学部でも上記の線形代数や微積分をあまり使わない科目、医療系や生物系の学部では数学3が試験範囲に入っていないことがあります。
例えば同じ明治大学でも理工学部は数学3が出題されるのに対して農学部では出題されません。

もしあなたが機械や化学に興味があって理工系の学部を志望しているのだとしたら、数学3は避けて通れない関門になります。
だからこそしっかりと数学3を攻略して周りに差をつけることは重要な意味を持つのです!

数学の試験の半分以上を占めることも

更に数学3の重要性を示すこととして、数学の試験のうち数学3の内容を使う問題は多くの場合半数以上だということです。
切断面を積分して立体の体積を求めるというようなガッツリと数3中心の問題から、微分や極限などを少し使う必要がある問題、あるいは数3無しでも解けるけれど複素数平面による回転を用いると計算量が大量に減る問題などもあります。
数学3は様々な形で問題に関わってくるため、それを丸々落としてしまうような事があれば大きく失点してしまうということになるのです。

この章のまとめ

・数三の単元は4つ、複合して一つの問題になる
・理工学部ではほぼ必須である一方、農学部や医療系学部等ではそうではないことも
・数学の試験のうち、数3の内容を使う問題は半分ほど

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数学3が難しい3つの理由

数学3がどうして難しいのかということを考えることは、即ち数学3の効果的な勉強方法を考えることにつながります。
私が考える「数学3が難しい」理由を3つ紹介します。

高校数学の集大成

まずはじめに、数学3の単元、特に微分積分では数学2Bや数学1Aで学んだことを使う必要があるということです。
数学2を学んだ時点で微分や積分がよくわかっていないという状態ではどうしたって数学3の微積分ができるわけはありません。
また、極限の中で重要な無限級数では数学Bの数列で学んだ内容を使うことになります。
これらのように、数学3を学ぶ上では数学1A,2Bは大前提になってくるのです。
つまり、それ以前の数学が苦手だと必然的に数学3も苦手になってしまう、数学3は高校数学の集大成的なものだといえます。

扱う範囲が広い!

また数学3は各単元の内容が数学2Bの各単元以上に多く、学習する範囲が広くなっています。
例えば微分法について見ると、数学2ではある文字xの多項式について微分して接線や増減表を求めれば良かったのに対して、数学3では三角関数や指数・対数関数の微分が出来るようになる必要がありますし、合成関数の微分などという厄介な内容も出てきます。
数学2で学んだことに対して数学3で学ぶ内容というのは明らかに多いのです。
学校の授業の進度が遅いとどうしても独学で数学3を勉強しなければなりませんが、この範囲の広さをどう攻略するかということが問題になってきます。

計算力も求められる

更に、数学3が難しい点として、計算量が非常に多いというのも挙げられます。
センター数学を解いたことがある人はわかるかと思いますが、積分は数学の中でもずば抜けて計算量が多いです。
センター数学、すなわち数学2の積分でさえ計算量が多いのですから数学3になり部分積分や置換積分などの応用が出題されると本当に大変な計算をしなければなりません。
また、数学3の積分計算では、「この式を計算すればいい」というところにまで辿りつけても、どの関数に置換すれば解けるのかわからなければ問題を解くことが出来ないというように、単純に数字に強いという意味の計算力だけが求められているわけではありません。
問題演習をこなし、ちょっとやそっとの計算では困らないだけの計算力を身につけなければ数学3で得点を上げることは出来ません。

この章のまとめ

・数3を理解するためには数1A,数2Bをしっかりと理解していることが必要
・数3の内容はとても多いので、独学する際には工夫が必要
・数3の計算は煩雑かつ特殊なので、量をこなして慣れる必要がある

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数学3勉強の進め方

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前章で見てきたことを裏返せば、数学3は数学1A数学2Bの基礎を漏れ無く身に付け、広範囲に渡る内容を整理して、計算問題を突破出来るだけの計算力を養えば良い点数が取れるということになります。
それを実現するための方法をお教えします。

センター数学で数1A,数2Bの基礎チェック

数学3の勉強を始める前に、数学1A,数学2Bの基礎を身に付けることが出来ているかどうかを確認する必要があります。
そのための最も良い教材が「センター数学」です。センター数学は数学1A2Bの基本事項を正しく押さえることが出来ているかどうかが問われる問題です。つまり、数3の勉強に耐えうる土台があるかどうかの試金石としては打って付けだといえます。
数学3の受験勉強を始める前にセンター数学を1年分解いてみましょう。7割以上取ることが出来なければ数学1A数学2Bの問題集の復習をしたほうが効果的です。
また、微積分と数列の単元は特に数学3との関連が深いので、その単元の正答率が半分以下ということがあれば一度勉強しなおしてから数学3に進みましょう。

まずは参考書で理屈を理解しよう

私は数学に限らず「問題集を解いて間違えながら勉強していく」方が効率がいいと考えています。いわゆるアウトプット中心の勉強です。
しかし、数学3を独学で学習しようという時には、参考書を通読して必要な考え方や覚えるべき知識についてイメージを作り上げたほうが良いと思います。数1A2Bは一度学校で習ったことを受験勉強で復習する形になりますが、数学3では新しい内容を自分で勉強していかなければならないからです。
学習範囲が膨大かつ、それらが複雑に関わりあうので、誰かに整理してもらったほうが効率がいいだろうというわけです。
おすすめの参考書は『細野真宏の数学がよくわかる本』シリーズです。
語り口調で易しい内容から受験数学を解くために必要なことを整理してくれるこのシリーズは、独学で勉強を進めようというときに打って付けです。
このシリーズの微分積分や極限を例題を解きながら一読することで、数学3という科目の概形が掴めるはずです。

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参考書名
細野真宏の積分〈計算〉が本当によくわかる本―数III 1週間集中講義シリーズ
著者
細野 真宏
ページ
280ページ
出版社
小学館
Btn amazon
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よくわかる、とかいうタイトルってあまり信用しない方だけど、これは本当によくわかる! 解説がめちゃくちゃ丁寧だから、 え、そこ省く!?とか だから、なんでその式になるの!?とか そういうイライラが全くないです できる人にとってはちょっとウザイくらい丁寧かもΣ(゜Д゜)

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参考書名
細野真宏の微分が本当によくわかる本―数III (1週間集中講義シリーズ)
著者
細野 真宏
ページ
324ページ
出版社
小学館
Btn amazon
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参考書名
極限が本当によくわかる本 (1週間集中講義シリーズ)
著者
細野 真宏
ページ
284ページ
出版社
小学館
Btn amazon
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このシリーズは本当にオススメ! 紙質が藁半紙なので、本当に予想をはるかに上回る軽さ。 学校行くときにいつもバッグに入れてました。 内容も、もともと数学が苦手だった人が作ったものなので最初の方は苦手克服にオススメな上に、最後の方は結構難易度が高い問題が揃ってる。 1つの分野の、幅広い難易度の問題を揃えた感じの本です。 とりあえず本屋さんで探して手に取ってみてほしい一冊。

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問題集は薄くて良いので複数回解く!

参考書の次は問題集を解いていくことになります。
やはり数学を上達させる上では問題演習は欠かせませんが、効果的な勉強のためには問題集の選び方にポイントが有ります。
それは、薄い問題集を繰り返し繰り返し解くことです。
前述のとおり、数学3では積分計算において関数の置換の仕方を覚えておかなければいけないとか、単純な数値を扱う能力以外にも様々な計算処理に精通していることが求められます。
計算に慣れるというよりもパターンを覚えることが大切なので同じ問題を繰り返し解くことが重要です。しかし、分厚い問題集を選んでは反復に膨大な時間がかかってしまいます。
そこで問題集の問題量は少なくて良いので、それを複数回解くことで時間を抑えつつ力をつけることが可能になるというわけです。
実際に私は『4STEP』を用いて積分や微分のややこしい計算方法や、極限の問題のパターンを身に付けました。

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参考書名
新課程 4STEP数学3
著者
数研出版株式会社
ページ
0ページ
出版社
数研出版
Btn amazon
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授業や講義で習った後に復習と定着のために結構使える参考書です。実際に受験で問われるような少しひねったような問題は多くないと思うので、別の参考書も併用すると良いのではないでしょうか。あれ、根本的にここってなんだっけ?と言ったように原点回帰するのにオススメな一冊でもあります。

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やはり数学の問題集といったら4STEP 基礎的な問題から二次レベルのものまで幅広く集めている 数lllは受験数学の中でも比較的点数が取りやすいことが多いので、いろんなものをやらずにこの1冊を完璧に仕上げることをオススメしたい(^^)

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まず塾がどうとか言う前にこれはやるべき。 たとえ東進だろうが鉄緑会だろうがこれすら解かずにどこの大学とか言うのは笑止千万としか言いようがないです。 結構言いましたが、とにかく扱ってるのは基本レベルなのでまずはこれをしっかり解き切れるようにしてください。 ❇︎理系の人はです! 文系の僕は解き切れるか怪しいです…

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単元別注意点

さて、次は数3で学ぶ各単元についてそれぞれ注意すべきポイントを説明します。

微分法は量をこなしてスピードを身に付ける

数学3の微分では商や積の微分、三角関数や指数対数関数の微分など様々な操作を身に付ける必要があります。
これらに関しては前の章で見たとおり、「薄い問題集を繰り返し解く」ことが効果的です。

問題で関数を与えられたときに「とりあえず微分してみる」ことが実は解答のための効果的な手段になるということは良くあります。
微分すると関数の概形がわかり、その図から多くのことが見えてくるからです。
問題を演習を重ねることで「この場合はとりあえず微分してみるといけるんじゃないか」というような感覚を身に付けることを目標にしましょう。
そうなると問題の解法が思いつくまでのスピードが一気に上がるはずです。

積分法は解法のプロセスを言語化する

積分もまた、置換積分や部分積分などの公式がたくさん必要になる単元です。
微分と同じく問題集を繰り返し解くことで計算方法を体に染み込ませることが大切です。

微分が増減表を作ったり接線を求めるなど問題を解くためのツール的な使い方をなされるのに対して、積分は面積や体積を求めるなど問題のメインテーマになることが多いです。
積分の問題を解くときは
立体を図示し→適当な断面を選び→積分計算して体積を求める
とか
微分してグラフを描き→積分区間を求め→積分計算して面積を求める
といったように、典型的な問題の流れを言葉で整理できるようにしておきましょう。
そうすると、その流れに乗って問題を解き進めることが出来て、かなり解きやすくなるはずです。

極限は合格をダメ押しするポイント!

入試問題を見ると、極限の問題が大問の最後に挿入されていることが多いことに気付くかと思います。
それまで扱ってきた関数の極限の値を求めるような問題です。
こういった問題は最後までたどり着けないと解くことが出来ない一方で、その問題までたどり着くことができれば、極限の問題としては簡単な場合が多いです。
つまり極限の問題は「それ単体で合否を大きく左右するわけではないが、極限の問題をしっかり解ける力を持っていると、合格を更にダメ押しできる」ような場面で出題されることが多いということです。
数学があまり得意でない人であれば数3の中で優先すべきポイントではありません。しかし、取れるはずの極限の問題を落としてしまうのは勿体無いことです。
微分積分に注力した上で余ったエネルギーで基本はしっかりと押さえておきましょう。

複素数平面の出題は少ないものの、差をつけられない必要あり

複素数平面は2015年の新課程から範囲に含まれた単元です。
旧課程より更に過去に学習範囲だった時もあり、範囲に含まれたり取り除かれたりを繰り返してきました。
おそらくそういった事情からですが、あまり出題頻度は高くありません。
なので極限と同様本腰を入れてガッツリと対策するべき単元ではありません。とは言え複素数平面が出題されるときはそれが問題の根幹のテーマになることが多いです。
基礎的な事項をしっかり押さえた上で、完答は難しくとも途中点、部分点をしっかりと取れるようにしておくことが有効な戦略でしょう。

最後に

やはり、数学3は数学1A数学2Bと比べると圧倒的に難しいです。
しかし、ここまで見てきたとおり受験数学における重要な位置を占め、その出来が合否を占うことは間違いありません。
多くの人が苦手だからこそ、「得意とまでは行かなくとも苦手ではない」くらいに実力をつけるだけで十二分に意味があります。
問題集を幾度も幾度も繰り返し、計算の基本を身につけることで、確実に周りの受験生に差をつけられる科目です。
数3から逃げずに乗り越えることで、ぜひ志望校合格を手に入れましょう!

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この記事を書いた人
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現役で東京大学理科2類に合格しました。いまは教養学部後期課程の4年生です。 得意科目は数学と化学、物理で、理系科目を中心に執筆していますので参考にしていただけると嬉しいです。 最近クロスバイクにハマりました。

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