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数学2の苦手対策!教科書の範囲に対応した単元別勉強のポイント

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はじめに

数学2は三角関数や微分積分など、高校数学の王道とも言える単元が登場する科目です。数学2で学ぶ単元の多くは、受験数学の問題を解く上での基礎ともいえるものです。数学2の単元と他の単元との融合問題はよく出題されます。数学2の範囲をしっかりと理解していないと、解き切れない問題もたくさん出てくるでしょう。数学の中でも数学2が特に苦手だというそこのあなた、入試問題を解くのにだいぶ苦労していませんか?
この記事では、受験数学攻略の鍵である数学2の勉強のポイントを単元別に解説します。自分の苦手な単元を1つずつ潰していき、数学2をマスターしましょう!

数学2の範囲と特徴

数学2は、大きく分けると「いろいろな式」「図形と方程式」「指数関数・対数関数」「三角関数」「微分・積分の考え」5つの単元から構成される科目です。
「いろいろな式」では式の展開や因数分解と二項定理、式の割り算、式の証明、複素数、二次方程式の解の公式と判別式・解と係数の関係、高次方程式と因数定理が範囲になります。
「図形と方程式」では平面上の点と座標、平面上の直線と方程式、平面上の円と方程式、平面上の点・直線・円の座標・数式における関係、軌跡・領域を扱います。
「指数関数・対数関数」では指数・対数の性質と計算、指数関数・対数関数のグラフを扱います。
「三角関数」では弧度法、三角関数のグラフ、加法定理とその応用について学びます。
「微分・積分の考え」では微分の基礎、不定積分と定積分の基礎について学びます。

数学2では、それぞれの単元がそのまま独立した問題として出てくることのほうが少ないです。特に「三角関数」や「指数関数・対数関数」は数学1の「二次関数とグラフ」と絡められて出題されることが多いです。その単元の内容だけを完璧にしても、問題を解き切ることができないという、融合問題中心なのが数学2の特徴です。「二次関数とグラフ」は数学2の単元との親和性が特に高いので、苦手だという人は数学2の勉強を始める前にまず数学1の内容を振り返りましょう。

いろいろな式

証明問題の基本知識

この単元では等式・不等式の証明方法が出てきます。記述式の問題では式の証明問題は割とよく出てくるので、この単元の基本知識が理解できていないと大変なことになります。特に重要なのは、平方完成を利用した証明、両辺を二乗して比較することによる証明、相加平均・相乗平均の関係を利用した証明でしょうか。これらを使った問題は入試問題でよく見られるので、問題演習を通して応用できるようにしておきましょう。

また、これらの証明を使う際に気をつけてほしいのは、前提条件を満たしているかの確認と、等号成立条件についても述べておくことです。相加平均・相乗平均の関係などはとても便利な道具なのですが、それを使う際には前提条件を満たしていないといけません。その確認をしていなかったがために記述問題で減点を食らったり、そもそも前提条件を満たしていないのに使ってしまって完全不正解の答案になってしまったりすることが大いに考えられます。また、等号成立条件についての文を書き忘れただけで、満点のはずだった答案が減点されてしまうのは大変勿体無いことです。細かいところにまで気をつけてこれらの証明を使いこなしていく必要がありますね。

基礎知識は道具として使うことが多い

解と係数の関係、相加平均・相乗平均の関係、因数定理などの「いろいろな式」で学ぶ基本事項は、入試問題を解く際の道具として登場することが多いです。これらの事項が解答の中心となる出題がなされることは多くなく、大概は他のジャンルの問題の解答途中にちょこんとくっついて登場します。だから、一見「いろいろな式」と関係なさそうな問題でも、実は道具としてその知識が求められることが多々あります。問題を見ただけではどの知識を使うのかわかりにくい場合があるのが厄介なところです。この対策としては、たくさんの問題演習を通して、どこにどのように「いろいろな式」の知識を使えばいいのかを覚えることです。知識だけをそのまま覚えるのではなく、「知識の使い方」を覚えることが、「いろいろな式」の実戦的な勉強方法です。

図形と方程式

数式と図形的性質との関係を頭に入れる

「図形と方程式」では図形的性質を示す重要な数式がいくつも出てきます。大変かもしれませんが、頭の中で数式が示す意味と座標平面上の図形をしっかりとリンクさせて、全部完璧に覚えましょう。基礎を固めないと、この分野の応用問題は絶対に解けません。2直線の垂直条件、円と直線の位置関係、円の接線の方程式などはしばしば出題されます。

軌跡や領域問題は記述試験で頻出

軌跡や領域を求めさせ図示させる問題は、二次試験では大変メジャーなタイプの問題です。この手の問題に苦手意識があるという人は、受験数学を突破する上で不利な状況にあるといえます。類題をたくさん解いて、問題に慣れていきましょう。慣れてしまえばすんなり解く事のできる分野です。また軌跡・領域問題は「二次関数とグラフ」や「三角関数」などと融合されて出題されることも多く、他の単元の学習を疎かにしていては解けないことも多いです。

そして記述試験の際に気をつけてほしいことは、十分条件までちゃんと言及しておくこと、除外点の存在に注意することの2つです。十分条件についての言及とは、「逆に(必要条件の式)のとき、(条件式)が成立する」という一文を書いておくというだけなのですが、意外と忘れてしまう人が多いです。記述問題の解答的にはこの一文がないだけで減点の対象となるので、忘れず書くようにしてください。また、除外点の存在も忘れてしまいがちです。条件式をよく見て、除外点はないか確認する癖をつけましょう。
このように軌跡・領域問題の記述試験では爪の甘さが失点に繋がるケースがよくあるので、気をつけて解くようにしましょう。

指数関数・対数関数

方程式や不等式、二次関数問題との融合が多い

「指数関数・対数関数」は、方程式・不等式を解く問題や二次関数問題と混ざった形で出題されることが多いです。「指数関数・対数関数」の知識を使って式変形をした後、方程式や不等式の問題として解いたり、二次関数として最大・最小値を求めたりする流れが一般的です。式変形ができてもその先が解けなかったなどということのならないように、数1の「数と式」「二次関数とグラフ」や数2の「いろいろな式」「微分」などをしっかり見直しておきましょう。

式変形でのミスは禁物

「指数関数・対数関数」単体での出題は多くなく、大抵は途中から二次関数の問題などに切り替わるのがこの単元の問題の特徴であると話しました。それだけに、切り替わる前段階での「指数関数・対数関数」の範囲で式変形ミスをしてしまうのは、最も避けなければならないことです。「指数関数・対数関数」の範囲においては、定義や基本的な計算規則を知っていれば問題を解くことは容易です。だからそこで式変形や計算のミスをしてしまうと、他の受験生に大きく水をあけられてしまうことになります。基本事項は頻繁にチェックして、この単元の範囲でのミスは絶対にしないように心がけましょう。

三角関数

公式は自分で導き出せる

三角関数の単元では、公式がたくさん登場します。暗記が得意な人はそれらを片っ端から覚えていってもいいんですが、苦手な人はどうしても細かいところが覚えられずに苦労するでしょう。しかし、心配は無用です。実は三角関数の公式はほとんど暗記する必要はないんです。公式の殆どは、加法定理から自分で導き出すことができます。導出方法も全く難しくないので、慣れてしまえば単純暗記よりもよっぽど効率がいいです。
センター試験のような解答スピードの速さが求められる試験では、いちいち公式を導いている時間が勿体無いのですべての公式を丸暗記しておく方が良いですが、記述式の二次試験では、三角関数の公式を導出するくらいの時間の余裕はあります。だから三角関数の勉強をする際には、公式を丸暗記するのではなく、加法定理から導出をする練習を何度か積んで、必要なときに必要な公式をスムーズに導き出せるようになるようにしましょう。

関数のグラフとの融合問題が頻発

「三角関数」は、「指数関数・対数関数」のように二次関数や三次関数と絡められ、最小値や最大値を求めるような問題がよく出てきます。従って、このような問題を解く場合には「三角関数」の理解はもちろん、数学1で学習する「二次関数とグラフ」や、同じ数学2の「微分」をよく理解していることが必要になってきます。「三角関数」で学ぶ範囲を理解しているだけでは、「三角関数」の問題を解き切れないこともあるのです。

微分・積分の考え

とにかく計算ミスに気をつけよう

微分・積分は計算量が大変多い単元です。それも積分では分数が絡んだ計算がよく出てきます。計算が苦手だという人は、特に注意と練習が必要になってくる単元といえます。また、数学2レベルにおける微積は、シンプルな問題が多いです。あの東大文系数学でも、微積問題は点の稼ぎどころだと言われています。微積問題は、解答方針がわからずまったく解けないということはあまりなく、解答途中に計算ミスをしでかすことによって失点することが大半なのです。
記述式の二次試験では、解答方針が合っていれば計算ミスで答えが違っていても部分点をくれることがあります。しかし完答できたはずの問題を、ちょっとした計算ミスで部分点止まりで終わってしまうのは非常にもったいないです。受験において大問を完答できるのとできないのとでは、結果が大きく変わってきます。

微積では計算ミスが命取りになるということを十分意識しながら、普段の問題演習に取り組むことが重要です。途中計算式を大きく丁寧に書くことを癖付けておくだけでも、計算ミスは大きく減ると思います。自分がどんなときによく計算ミスをするのか、ノートなどにメモしておいて、自分の癖を把握しておくのも役に立ちます。面積の問題は、1/3公式や1/6公式などを使ってしっかりと検算するようにしておきましょう。

最後に

ここまで見てきたように、数学2で学ぶ単元は融合問題として出題されることがとても多いです。また、一見関係のなさそうな問題で、数学2で学んだ知識を道具として用いる場面もよくあります。やはり数学2の勉強で大切なのは、その知識そのものも勿論ですが、「知識の使い方」です。問題演習をいくつもこなして、どういった場面でどの知識を、どこに気をつけて使えばいいのかを体得していきましょう!そこさえ意識すれば苦手な数学2もきっと克服できます!

この記事を書いた人
14720919
現役で早稲田大学 政治経済学部に合格しました。センター利用だったので主に国公立対策の記事を書いています。 得意科目は英語と国語で、歌うことが大好きです。

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